Astro-Lexikon K 8

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Der Kretschmann-Skalar ist eine wichtige Größe in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART), um die Krümmung von Raumzeiten darzustellen.

Masse macht krumme Sachen

Krümmung wird durch Energien hervorgerufen. So lautet eine fundamentale Aussage der ART, dass Massen die Raumzeit krümmen. Die Krümmung variiert im Allgemeinen über die Raumzeit und unterscheidet sich von Ort zu Ort - von Koordinate zu Koordinate. Krümmung kann sogar unendlich werden - genau das passiert in den Krümmungssingularitäten oder echten Singularitäten der ART. Der Kretschmann-Skalar eignet sich nun besonders gut, um die Singularitäten einer gegebenen Raumzeit oder Metrik zu finden.

Krümmungsinvarianten: frei von Koordinatenwahl

Der Kretschmann-Skalar wird alternativ auch als Riemannsche Invariante bezeichnet. Der erste Wortbestandteil Riemann bezieht sich darauf, dass diese Größe aus dem Riemann-Tensor (Krümmungstensor) hervorgeht, der in der ART gerade die Krümmung mathematisch beschreibt. Der zweite Wordbestandteil Invariante ist darauf zurückzuführen, dass die Größe unabhängig von verwendeten Koordinaten ist. Das ist eine hervorragende Eigenschaft einer mathematischen Größe, die den Physikern besonders gefällt! Denn es reicht die einmalige Berechnung in irgendeinem Koordinatensystem damit sehr generelle Aussagen gemacht werden können.
Ganz allgemein kann man sagen, dass die Riemannsche Invariante eine Summe aus Weylscher Invariante und den Ricci-Invarianten ist. Liegen entsprechend Weyl-Tensor (C), Ricci-Tensor (R mit zwei Indizes) und Ricci-Skalar (Skript R ohne Index) vor, so folgt die Riemannsche Invariante gemäß:

Die Berechnungen der Riemannschen Invarianten einer vorgegebenen Metrik sind schon bei einfachen Raumzeiten mit hoher Symmetrie relativ aufwendig. Die Mühe lohnt allerdings, weil mit dem Resultat die Krümmungseigenschaften ganz allgemein diskutiert werden können. Die Relativisten sind ebenso an den Krümmungssingularitäten besonders interessiert. Man findet sie, indem man divergentes Verhalten der Riemannschen Invarianten untersucht, also Koordinaten bestimmt, wo die Invariante unendlich wird.

Kretschmann für Kerr

Im Folgenden wird als Beispiel der Kretschmann-Skalar der Kerr-Geometrie diskutiert. Die Kerr-Metrik ist wichtig für die Astronomie, weil sie relativistisch rotierende, elektrisch ungeladene Schwarze Löcher beschreibt. Die Gleichung für den Kretschmann-Skalar ist im Lexikoneintrag Riemann-Tensor dargestellt. Das Loch möge sehr schnell rotieren und einen Drehimpulsparameter a/M von 0.998 haben. Seine Masse wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 1 gesetzt (die Masse skaliert nur den Radius). Visualisiert man nun die Invariante als Maß für die Krümmung in Abhängigkeit von den Koordinaten Radius (in Einheiten des Gravitationsradius) und Poloidalwinkel (θ, im Bogenmaß), so ergibt sich folgendes Bild (basierend auf R.C. Henry, ApJ 535, 350, 2000):

Bei großen Radien verschwindet die Krümmung nahezu. Diese Eigenschaft ist die asymptotische Flachheit der Kerr-Metrik. Mit Annäherung an das Loch nimmt die Krümmung stark zu. Weiterhin fällt auf, dass sich der linke und rechte Teil des Reliefs gleichen - das ist nichts anderes als die Achsensymmetrie der Metrik rotierender Schwarzer Löcher. Die Spiegelebene in der Mitte des Bildes ist gerade die Äquatorialebene des Loches. Die Krümmung nimmt wie man anhand der vertikalen Skala sieht rapide zum Innern des Loches hin zu. Dies geschieht allerdings nicht räumlich homogen, sondern es gibt eine starke Abhängigkeit vom Poloidalwinkel ('Breitengrad'): Erstaunlicherweise erkennt man nicht nur drei herausragende 'Gipfel' (positive Krümmung), sondern auch zwei 'tiefe Täler', die ins Bodenlose fallen. In den Senken liegt eine negative Krümmung vor, die vollkommen wesensverschieden von negativ gekrümmten Sattelflächen ist (Henry 2000). Die negative Krümmung wird auch an den Polen des Lochs besonders groß. Wie das und negative Krümmung überhaupt zu interpretieren sind, ist bislang unklar.

Jagd auf Krümmungssingularitäten

Es lohnt sich, die Orte verschwindender Krümmung zu diskutieren: Eine Analyse der Konturlinien für Krümmung null zeigt, dass sie interessanterweise in der Äquatorialebene bei Radius null konvergieren. In der Krümmungssingularität muss der Kretschmann-Skalar gegen unendlich gehen. Ein solches Verhalten zeigen die drei Gipfel die zu kleinen Radien hin verschmelzen und divergieren. Dieses Verhalten weist auf die Ringsingularität der Kerr-Geometrie hin.

Die Kruskal-Lösung ist eine spezielle Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeine Relativitätstheorie (ART). Sie gehört zur Familie der Schwarzen Löcher, weist aber ein paar besondere Eigenschaften auf.

Wurmlöcher der Science-Fiction

In der Science-Fiction wurde die Kruskal-Lösung dankend angenommen und hat unter der Bezeichnung Wurmloch Berühmtheit erlangt. Eine Analyse des Raumzeit-Diagramms der Kruskal-Geometrie führte darauf, dass verschiedenen Regionen der Raumzeit miteinander durch eine Art 'Raumzeit-Tunnel' miteinander verbunden sind. Wissenschaftlich heißt dieser Tunnel Einstein-Rosen-Brücke - populärwissenschaftlich nennt man es ein Wurmloch. Im Raumzeit-Diagramm findet man Zonen, die als zeitliche Umkehrung eines Schwarzen Loches aufgefasst werden können: die so genannten Weißen Löcher. Wie es die zeitliche Inversion nahe legt, strömen aus Weißen Löchern ständig Materie und Energie heraus. Es ist eine sichtbare oder - wie im Fachjargon auch gesagt wird - nackte Singularität. Nach der kosmologischen Zensur, einem bisher unbewiesenen, aber auch nicht widerlegten Theorem des englischen Mathematikers Roger Penrose, sind nackte Singularitäten verboten. Die Astronomie spricht bislang für dieses Theorem, weil weder Weiße Löcher, noch nackte Singularitäten im Kosmos beobachtet wurden. Ebenso wenig gibt es indirekte Indizien, die Existenz erfordern würden. Letztendlich lässt das auch die Existenz von Wurmlöchern sehr fragwürdig erscheinen. Eine mögliche Erklärung lautet, dass Wurmlöcher, die Kruskal-Lösung, Weiße und auch Schwarze Löcher Objekte einer klassischen Theorie, der ART, sind. Zwar hat sich die ART vielfach bewährt und gehört zu den mächtigsten Theorien der Physik mit starker Vorhersagekraft; doch hat sie (wie übrigens jede Theorie!) einen Gültigkeitsbereich, der vermutlich bei kleinen Längenskalen endet. Hier beginnt die Domäne einer Quantengravitation, für die es bisher nur Erfolg versprechende Kandidaten (Stringtheorien und Loop-Quantengravitation), aber keine bewährten Theorien gibt. Das heißt, dass eine mikroskopische Theorie der Gravitation, die über Einsteins ART hinaus geht (aber sie als Grenzfall enthalten muss), eventuell gar nicht die Existenz von Wurmlöchern, Schwarzen oder Weißen Löchern und Singularitäten vorsieht. Ob das so ist, ist ein aktuelles und brisantes Forschungsgebiet.

So berechnet man ein Wurmloch

Die Kruskal-Geometrie resultiert, wenn man von der Schwarzschild-Lösung (in Schwarzschild-Koordinaten) ausgeht und eine Koordinatentransformation durchführt. Dazu verwendet man die so genannten Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Die folgenden Beschreibungen werden sehr technisch, sind aber nötig, um zu verstehen, wie man die Kruskal-Geometrie ableitet:
Die Kruskal-Lösung ist die eindeutige, maximale analytische Erweiterung der Schwarzschild-Lösung. Maximal bedeutet in diesem Zusammenhang, dass jede von einem beliebigen Punkt ausgehenden Geodäte entweder in beide Richtungen zu unendlichen Werten des affinen Geodätenparameters ausgedehnt werden kann oder in einer intrinsischen Singularität endet. Gilt der erste Fall für alle Geodäten, so heißt die Mannigfaltigkeit geodätisch vollständig, wie es die Minkowski-Metrik trivial erfüllt. Die Kruskal-Lösung hat intrinsische Singularitäten und ist daher nicht vollständig, aber maximal. Man erhält die Kruskal-Lösung, indem man sowohl die einlaufenden (retardierte Eddington-Finkelstein-Koordinaten), als auch die auslaufenden Geodäten (avancierte Eddington-Finkelstein-Koordinaten) 'zu Geraden macht'. Das gelingt mit einer geeigneten Koordinatentransformation der Schwarzschild-Metrik.

Kugelsternhaufen (engl. globular cluster) sind die ältesten Objekte in einer Spiralgalaxie und umkreisen die galaktische Scheibe in einer sphäroiden Region, dem galaktischen Halo. Die Entfernung des galaktischen Zentrums zum Halo beträgt typischerweise 10⁴ bis 10⁵ Lj. Aufgrund ihres hohen Alters von etwa 10 Mrd. Jahren dienen Kugelsternhaufen auch der Altersbestimmung einer Galaxie und geben sogar eine Untergrenze für das Alter des Universums an.

Gestalt und Etymologie

Kugelsternhaufen sind Sternansammlungen von etwa 10⁴ bis 10⁷ Sternen, deren Konzentration deutlich zum Zentrum des Haufens hin zunimmt. Das ist gerade das Typische an den Kugelsternhaufen und auf den HST-Fotos unten sehr schön zu sehen. Damit unterscheiden sie sich morphologisch deutlich von offenen Sternhaufen (wie den Plejaden, Hyaden oder h/χ Persei), die eher einen lockeren Verbund mit gemeinsamen Konvergenzpunkt bilden und auch aus sehr viel weniger Sternen bestehen. Aufgrund der damit verbundenen Helligkeitszunahme zum Zentrum hin und der resultierenden kugeligen Gestalt, haben die Kugelsternhaufen diesen Namen bekommen.

Halopopulation

Typische Durchmesser von Kugelsternhaufen liegen im Bereich zwischen 10 und 150 pc. Die Sterne in Kugelsternhaufen, die Halopopulation (Population), sind entsprechend alt und weit in ihrer Entwicklung vorangeschritten: viele massearme Sterne unter 1.2 Sonnenmassen sind bereits zu Weißen Zwergen geworden. Massereichere Sterne haben sich nach dem Gravitationskollaps in Neutronensterne oder andere kompakte Objekte verwandelt.
Besonders bekannt ist ein Typus veränderlicher Sterne, den man RR Lyrae-Sterne, nach ihrem Prototyp im Sternbild Lyra (dt. Leier), genannt hat. Sie sind auch als Haufenveränderliche bekannt.

Bekannte Kugelsternhaufen

Besonders bekannte Kugelsternhaufen in der Milchstraße sind M13 im Sternbild Herkules, der bereits mit kleinen Instrumenten gut beobachtbar ist und M15 im Sternbild Pegasus. Dieser letztgenannte Haufen hat zusammen mit dem 'extragalaktischen Kollegen' G1 in der Andromedagalaxie für Aufsehen gesorgt, weil diese beiden höchstwahrscheinlich ein mittelschweres Schwarzes Loch (engl. intermediate-mass black hole) im Innern beherbergen (siehe Beobachtungsfoto oben; Credits: STScI/AURA und M. Rich, HST/NASA 2002). Für M15 wurden 3400 und für G1 sogar 17000 bis 18000 Sonnenmassen Zentralmasse abgeleitet. Damit schließt sich - so hoffen Astronomen - die prominente Massenlücke zwischen stellaren und supermassereichen Schwarzen Löchern. Allerdings sind noch nicht alle Astronomen von der Existenz dieser intermediate-mass black holes in M15 und M31 G1 überzeugt. Zwar mehreren sich Beobachtungen, dass diese mittelschweren Löcher auch in anderen Quellen gibt (z.B. in ultrahellen Röntgenquellen; engl. ultraluminous X-ray sources, ULXs), aber das ist Gegenstand intensiver Forschung.

Mehr dazu im Wissensportal

• Details zu den Kugelsternhaufen M15, G1 und anderen kompakten Objekten gibt es im Web-Artikel Kompakte Objekte des Himmels.

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© Andreas Müller, August 2007

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