Astro-Lexikon S 11

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Eine Symmetriegruppe oder Invarianzgruppe ist eine mathematische Gruppe, deren zugeordnete Transformation Symmetrien zulässt. Hier untersucht der Theoretiker also Symmetrie- bzw. Transformationsgruppen, die eng mit Symmetrieoperatoren assoziiert sind. Die Methodik ist die Folgende: Eine beliebige Transformation (Abbildungsvorschrift, z.B. Drehung oder Verschiebung) sei gegeben. Der Theoretiker prüft nun die Kriterien dafür, ob diese Transformation als mathematische Operation die Gruppeneigenschaften (Abgeschlossenheit, neutrales Element, inverses Element, Assoziativität) erfüllt. Eine abelsche Gruppe genügt zudem der Kommutativität. Dann untersucht er, welche Gebilde (Lagrangedichten, Bewegungsgleichungen, Raumzeit etc.) durch die Transformation invariant gelassen werden.

einige Symmetriegruppen der Physik

Die historisch erste Symmetriegruppe war wohl die Galileigruppe. Die zugehörige Galilei-Transformation lässt die klassischen Newtonschen Gravitationsgesetze invariant. Die (Allgemeine) Lorentzgruppe hingegen basiert auf der (Allgemeinen) Lorentz-Transformation und lässt die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie invariant. Die Poincarégruppe ist von besonderer Bedeutung für die Spezielle Relativitätstheorie. Die assoziierte Poincaré-Transformation lässt die Minkowski-Metrik invariant.
Das Konzept ist erweiterbar und wurde vor allem in den Quantenfeldtheorien, wie der Quantenelektrodynamik, der Quantenchromodynamik, der schwachen Wechselwirkung und elektroschwachen Theorie oder der Quantengravitation angewandt. Hier gelingt die mathematische Formulierung von Symmetrien mit der Gruppentheorie und führt auf ein übergeordnetes Konstrukt, den Eichtheorien.
Die mathematische Physik kennt viele Beispiele für Symmetriegruppen, die unter dem Lexikoneintrag Gruppe eingehend diskutiert werden.

unitäre Physik

Man klassifiziert die Transformationsgruppe nach den Eigenschaften dieses Operators. Die übliche Abkürzung für diesen Operator in der Physik ist U, weil der physikalische Operator unitär ist. Unitarität eines Operators bedeutet, dass seine Adjungation seinem Inversen entspricht. Man kann sich diesen Vorgang sehr gut bei Matrizen illustrieren, die oft eine Darstellung physikalischer Operatoren bewerkstelligen. Anschaulich, aber etwas salopp formuliert, ändert ein unitärer Operator die Physik nicht. Das manifestiert sich darin, dass der zentrale Operator der Physik, der Hamilton-Operator (oder auch kurz Hamiltonian genannt), der mit der Gesamtenergie im betrachteten System zusammenhängt, unter unitären Transformationen unverändert bleibt (siehe Abbildung rechts): die erste Gleichung zeigt auf der linken Seite gerade die mathematische Formulierung der unitären Transformation. Man kann den Symmetrieoperator U erzeugen, wenn man einen weiteren Operator, den Generator G oder die Erzeugende genannt, als Exponent (multipliziert mit der imaginären Zahl i) in der e-Funktion notiert. Die Auswertung dieses Ausdrucks geschieht mit Reihendarstellung der e-Funktion unter Ausnutzung der Eigenschaften des Generators. Die Baker-Hausdorff-Formeln, die in zweiter Ordnung Lie-Klammern (der übliche Kommutator der Quantenmechanik) enthalten, erweisen sich hier bei Umformungen als nützlich.

orthogonale Operatoren

Neben den unitären Operatoren gibt es aber auch die orthogonalen. Orthogonalität lässt sich ebenfalls anhand der Matrizen verdeutlichen, weil die Transformationen durch Matrizen bewerkstelligt werden: diese Eigenschaft bedeutet, dass die transponierte Matrix (vertauschen von Zeilen mit Spalten) ihrem Inversen entspricht. Ein Beispiel für die orthogonalen Transformationsgruppen sind die Drehgruppen SO(N), die darüber hinaus speziell sind.

Terminologie der Transformationsgruppen

• U für unitär, sollten aus oben genannten Gründen alle Symmetriegruppen sein, die die Physik beschreiben. Das trifft für die Symmetriegruppen der Quantenfeldtheorien auch zu.
• O für orthogonal,
• S für speziell bedeutet, dass die Determinante des Symmetrieoperators +1 ist und die Spur (Summe der Diagonalelemente) des Generators verschwindet.

Allgemein bezeichnet U(N) eine unitäre Transformationsgruppe N-ter Dimension, während sich hinter SU(N) eine spezielle, unitäre Transformationsgruppe N-ter Dimension verbirgt. Nur für eine spezielle, unitäre Transformationsgruppe existieren N² - 1 reelle, unabhängige Parameter. Physikalisch interpretiert man sie als die bosonischen Austauschteilchen der jeweiligen Quantenfeldtheorie, den Eichbosonen, die die Eichsymmetrie bewerkstelligen.

Beispiel: GUT

In den Grand Unified Theories (GUT) ist die Vereinigung von dreien der fundamentalen Naturkräfte gelungen, indem man den einzelnen Wechselwirkungen unterschiedliche Symmetriegruppen zugeordnet hat. Die übergeordnete Transformationsgruppe ist gerade das direkte Produkt aus diesen Symmetriegruppen.

Das Synchrotron (Ringbeschleuniger) ist die heute weit verbreitete Beschleunigerarchitektur, die geometrisch auf einem Kreisbeschleuniger basiert.

Gas geben im Partikelkarussell

Im Unterschied zum Zyklotron bewegen sich die zu beschleunigenden Teilchenbündel (engl. Fachbegriff: beams) nicht auf Spiralbahnen, sondern auf einer Kreisbahn mit konstantem Radius (Beschleunigerring). Auf dieser fixen Beschleunigungsstrecke werden die Teilchen in mehrfachen Umläufen sukzessiv beschleunigt. Die Beschleunigung erfolgt in kurzen Beschleunigungskapseln, den Kavitäten, die über den Umfang des Beschleunigerrings verteilt sind. Während des Beschleunigens steigen die Zentrifugalkräfte mit jedem Umlauf an. Nahe relativistischer Geschwindigkeiten, also Geschwindigkeiten, die vergleichbar sind mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit, steigt der relativistische Impuls dramatisch an.

Magnetfelder und elektrische Felder zwingen auf die Kreisbahn

Mit magnetischen Führungsfeldern kompensiert man den Einfluss der Zentrifugalkräfte, um die Teilchenbündel auf ihrer Sollbahn im Ring zu halten. Es ist also eine Synchronisation nötig: magnetisches Führungsfeld und elektrisches Beschleunigungsfeld müssen ständig nachgeregelt werden. Dies gilt auch für die Frequenz des elektrischen Wechselfeldes. Erst dann durchlaufen die Teilchen trotz zunehmender Geschwindigkeit die Beschleunigungsstrecke im Synchrotron ringförmig.

'Raus aus dem Karussell, 'rein ins Experiment

Erreichen die Teilchen ihre maximale bzw. angestrebte Geschwindigkeit, können sie aus dem Ring zu Experimentierorten abgeleitet werden (z.B. Beschuss statischer Targets). In Collider-Experimenten bringt man Teilchenstrahlen (die möglicherweise aus verschiedenen Beschleunigerringen entstammen) auf Kollisionskurs: dies vervielfacht die 'Kollisionsenergie' (Fachbegriff: Schwerpunktsenergie, engl. com energy) und ermöglicht so die Produktion neuartiger, schwerer Teilchen im Kollisionsprozess.

Die Synchrotronstrahlung ist eine elektromagnetische Strahlung, die in speziellen Teilchenbeschleunigern, den Synchrotrons, erstmals beobachtet wurde. Sie entsteht immer dann, wenn elektrisch geladene Teilchen in einem Magnetfeld beschleunigt werden. Die Beschleunigung kann eine Richtungsänderung bei konstanter Bahngeschwindigkeit sein, eine nur betragsmäßige Änderung der Geschwindigkeit bei konstanter Richtung oder beides. Im Ruhesystem der beschleunigten Ladung beobachtet man keine Synchrotronemission.

Synchrotronstrahlung in der Astrophysik

Synchrotronstrahlung ist demzufolge nichtthermisch und von großer Relevanz in der Astrophysik, weil es zahlreiche kosmische Quellen gibt, wo sich elektrische Ladungen vor dem Hintergrund eines interplanetaren (Beispiel Jupiter), interstellaren (Beispiel Sonne) oder intergalaktischen Magnetfeldes (Beispiel AGN-Jets) bewegen.

Polarisation und typische, emittierende Teilchen

Synchrotronstrahlung ist immer linear polarisiert. Die Polarisierung dient als wesentlicher Hinweis für Astronomen, dass die beobachtete Strahlung Synchrotronstrahlung ist. Die relevanten Teilchenspezies in Astro- und Teilchenphysik in Bezug auf Synchrotronemission sind Elektron und Proton. Dadurch dass das Elektron etwa 2000 leichter ist als das Proton, spielt die elektronische Synchrotronstrahlung die dominante Rolle in der Physik.

relativistische Effekte

Denn diese Teilchen können viel leichter relativistische Geschwindigkeiten erreichen (sie sind weniger träge), also Geschwindigkeiten, wo Effekte der Speziellen Relativitätstheorie wichtig werden. Während bei kleinen Geschwindigkeiten die abgestrahlten Photonen eine Larmor-Verteilung zeigen, wird bei relativistischen Geschwindigkeiten der Strahlungskegel scharf in Bewegungsrichtung gebündelt (relativistische Kollimation). Diesen Effekt kennt man auch als Beaming.

Wie Synchrotronstrahlung Magnetfelder verrät

Synchrotronstrahlung hat unter anderem deshalb einen so hohen Stellenwert in der Astronomie, weil ihre Eigenschaften als Indikator (engl. tracer) für Magnetfelder in Betrag und Richtung dienen. Auf diese Weise können Astronomen kosmische Magnetfelder messen, auch über astronomische Distanzen. Dieses Verfahren wird beispielsweise bei der Vermessung des galaktischen Dynamos angewendet. Dieses Phänomen bezeichnet das 'Aufziehen', also eine Verstärkung, galaktischer Hintergrundmagnetfelder durch die galaktische Rotation. Solche Messungen stecken den Parameterbereich ab, um magnetohydrodynamische Simulationen des interstellaren Mediums (ISM) zu bewerkstelligen. Dies liefert letztendlich Erkenntnisse über Galaxiendynamik, Dynamik der Spiralarme und der Interarm-Regionen sowie der globalen Galaxienstruktur.

SSC: Synchrotron-Selbst-Comptonisierung

Ein besonders wichtiger Effekt in der Astrophysik ist die Synchrotron-Selbst-Comptonisierung (engl. synchrotron self-Compton, SSC). Hierbei wird niederenergetische ('weiche') Synchrotronstrahlung durch Comptonisierung, also inverse Compton-Streuung, in hochenergetische ('harte') Synchrotronstrahlung verwandelt. Im mikroskopischen Bild, werden die weichen Photonen an den heißen Plasmateilchen gestreut und nehmen dabei Energie vom Plasmateilchen auf. Die ausgehenden Photonen haben also nach dem Streuakt höhere Energien. Dieser Vorgang kühlt das Plasma, weil kinetische Energie des Plasmas ('Wärme') in Strahlungsenergie umgewandelt wird. Zur Synchrotronemission sind Magnetfelder des kosmischen Hintergrunds oder einer benachbarten Magnetosphäre eines kosmischen Objekts nötig. Als heißes Reservoir für die Comptonisierung dient das emittierende Elektronengas selbst.

SSA: Synchrotron-Selbstabsorption

Die Synchrotron-Selbstabsorption (engl. synchrotron self-absorption, SSA) ist hingegen ein Effekt, bei dem bei einer bestimmten Photonenfrequenz (engl. turnover frequency) der Absorptionskoeffizient der Synchrotronstrahlung dramatisch ansteigt (Twiss 1954, Le Roux 1961, McCray 1969, Wardzinski & Zdziarski 2000). Das Elektronengas wirkt dann auf die Synchrotronstrahlung, die im Gas selbst erzeugt wird absorbierend, so dass die Strahlungsintensität bei der kritischen Frequenz einbricht. Für Synchrotronphotonen mit Frequenzen oberhalb dieser kritischen Frequenz ist das Gas jedoch durchlässig (optisch dünn, siehe auch optische Tiefe) und die SSA schlägt nicht zu.

Das machen SSC und SSA mit Spektren kosmischer Quellen

SSC und SSA beeinflussen das Profil von Synchrotronspektren kosmischer Quellen nachhaltig. Besonders relevant sind die Mechanismen bei kompakten Quellen. Typischerweise entsteht zunächst ein spektraler 'Buckel' im Radiobereich (engl. radio bump) aus der initiierten Synchrotronstrahlung. SSA bewirkt einen Einbruch im Spektrum unterhalb der kritischen Frequenz, wo die optische Tiefe für Synchrotronstrahlung dramatisch ansteigt. SSC hingegen generiert einen zweiten spektralen Buckel oberhalb des Radiobuckels, im hochenergetischen Spektralbereich. Synchrotronspektren zeigen daher typischerweise zwei 'Buckel' (engl. double-humped), was beispielsweise gut bei den Spektren der Blazare zu sehen ist.
Anwendung finden SSA und SSC auch bei dem Jet der Radiogalaxie Centaurus A. Diese Quelle zeigt Radiosynchrotronemission und SSC-Röntgenemission, wie die Daten von VLBI und Chandra belegen.
Auch das Zentrum der Milchstraße, das Galaktische Zentrum zeigt diese Phänomene. Die kompakte Radioquelle Sgr A*, die man mit dem Galaktischen Zentrum assoziiert, zeigt einen Synchrotronbuckel von thermischen Elektronen im Radiobereich (Maximum bei etwa 1 THz). Deren Comptonisierung erzeugt einen Röntgenbuckel (etwa bei 10¹⁷ Hz). Ein zweiter Radiobuckel, der Submillimeter-Exzess, weist darauf hin, dass die Quelle sehr kompakt ist. Mittlerweile weiß man, dass es sich um ein rotierendes (!) supermassereiches Schwarzes Loch von etwa 3 Millionen Sonnenmassen handelt.

Weiteres im Wissensportal

• Web-Artikel: Das größte Schwarze Loch der Milchstraße

Das Synchrozyklotron ist eine spezielle Architektur eines Teilchenbeschleunigers, die auf den Kreisbeschleuniger zurückgeht. Von der Bauweise her handelt es sich also um ein Zyklotron, das jedoch einen besonderen Synchronisationsprozess erfordert: Bei relativistisch schneller Bewegung der Teilchenstrahlen im Zyklotron erhöht sich der relativistische Impuls der Teilchen dramatisch und muss durch synchrone Abstimmung von Magnetfeld und Spannungsfrequenz ausgeglichen werden. Dieser präzisen Justierung verdankt dieser Beschleunigertypus den Namen. In Synchrotronbeschleunigern wurde die Synchrotronstrahlung entdeckt, also Strahlung, die beschleunigte elektrische Ladungen in Magnetfeldern emittieren. Weil sich die Teilchen typischerweise relativistisch schnell bewegen, ist diese Strahlung scharf in Bewegungsrichtung gebündelt (relativistische Kollimation, Beaming)

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© Andreas Müller, August 2007

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