Lustvolle Geometrie - Spektrum der Wissenschaft Dossier 2/2008

Mathematische Unterhaltungen IV

Die Kunst, Zahlen an die richtige Stelle in einem Quadrat zu setzen, ist vom mittelalterlichen Zeitvertreib arabischer Intellektueller zum Gegenstand kombinatorischer Theorien und groß angelegter Computer-Suchaktionen avanciert.

Die Frage danach, wie man die Ebene lückenlos mit lauter Pflastersteinen aus einem kleinen, raffiniert gewählten Sortiment füllt, begeistert in einfacher Form schon die Vorschulkinder und beschäftigt selbst Wissenschaftler, wie das Beispiel der Quasikristalle in der Physik zeigt.

"Käsekästchen", "Hex" und "Sudoku" erfreuen sich ebenfalls weiter Beliebtheit und ein Ausflug in höherdimensionale Räume hilft uns durch geschickte Projektion Dinge zu verstehen, die sich zwar in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum abspielen, uns aber Rätsel aufgeben.

Das vorliegende Heft stellt eine Auswahl von Beiträgen aus der Rubrik Mathematische Unterhaltung zusammen.

(7. März 2008)

Weitere Informationen finden Sie im Editorial des Heftes.

Inhaltsverzeichnis

Inhalte dieser Ausgabe

Magische Quadrate in den Ländern des Islam

 
6
Zwischen dem 9. und 12. Jahrhundert machten arabische Mathematiker die Quadrate mit der stets gleichen Zeilen-, Spalten- und Diagonalsumme hoffähig.

Perfekte magische Würfel

 
11
Nicht nur entlang von Zeilen und Spalten, sondern auch entlang von Säulen und mehreren Arten von Diagonalen soll sich stets dieselbe Summe ergeben. Es geht – sogar mit der kleinen und daher extrem schwierigen Kantenlänge 5.

Edle magische Quadrate

 
14
Gewisse magische Quadrate haben eine innere Struktur, die es erlaubt, aus einem einzelnen magischen Quadrat viele andere zu machen.

Supermagische Quadrate

 
22
Manche magischen Quadrate sind noch magischer als andere: Sie sind auf kleinstem Raum bereits ausgewogen. Britische Mathematiker haben ein Verfahren zu ihrer systematischen Erzeugung veröffentlicht.

Magische Quadrate mit besonderen Eigenschaften

 
24
Durch preußische Ordnung gewinnt man einen geregelten Überblick über eine spezielle Klasse magischer Quadrate und kann eine überraschend große Vielfalt von ihnen konstruieren. Aber das Verfahren schöpft bei Weitem nicht alle Möglichkeiten aus.

Die Quadratur des Quadrates

 
28
Wie pflastert man ein Quadrat überlappungsfrei und lückenlos mit lauter verschiedenen kleineren Quadraten? Man übt sich in Elektrotechnik.

Tangram für Fortgeschrittene

 
31
Wie zerschneidet man eine Figur, um aus den Teilen eine völlig andere zusammenzusetzen? Es gibt einige Prinzipien – und viel Gelegenheit, unkonventionelle Verfahren zu finden.

Quasikristalle in neuem Licht

 
34
Es gibt zwar eine theoretische Vorstellung, wie Atome sich zu Festkörpern mit einer ungewöhnlichen Symmetrie zusammenballen könnten; aber die Atome haben wenig Anlass, dieser Vorstellung zu folgen. Ein neues, plausibleres Muster könnte die Erklärungsnot lindern.

Fünfeckige Kacheln

 
38
Nur zwei Formen, ein Sechseck und ein Fünfeck mit zwei rechten Winkeln, genügen, um fast alle denkbaren kristallinen Formen der Ebene zu realisieren.

Ungewöhnliche Kachelungen

 
41
Aus einer einfachen Konstruktionsanweisung entstehen höchst komplizierte, nichtperiodische Muster.

Mukundis Krone

 
44
Eine unscheinbare Figur entpuppt sich als überraschend wandlungsfähig: Sie pflastert die Ebene periodisch, nichtperiodisch – und in wilden Mischungen aus beiden Arten zugleich.

Kreisförmige Kekse auf dem Kuchenblech

 
47
Möglichst viele gleiche Kreise in einer begrenzten Fläche unterzubringen ist überraschend trickreich.

Kreispackungen

 
49
Zu einer Konstruktion des antiken Geometers Apollonios von Perge gibt es überraschende Neuigkeiten – mehr als 2000 Jahre später.

Sudoku oder die einsamen Zahlen

 
52
Das harmlos scheinende Schema aus 9 mal 9 Kästchen gibt Anlass für intensives Grübeln – und suchtähnliche Bewältigungsbedürfnisse.

Schach auf dem Sechsecksbrett

 
58
Edelbert Wiedmanns Variante mit der halben Mannschaft und auf ungewohntem Feld bietet einen ganz eigenen Reiz.

Spiele mit Seifenschokolade

 
61
Die Spiele, um die es hier geht, sind unendlich süß, aber mit bitterem Ende – nur weiß man nicht, für wen. Der Verlierer wird schäumen!

Der Kampf um die Sechsecke

 
64
Die Regeln von Hex sind einfach, das Spiel ist endlich, und der Zufall spielt keine Rolle. Aber der Spielverlauf ist voller Überraschungen.

Käsekästchen für Fortgeschrittene

 
66
Hinter dem harmlosen Kinderspiel steckt eine ganze Hierarchie von Strategien – eine komplizierter als die andere.

Die Getriebe des Teufels

 
68
Unendlich viele ineinander greifende Zahnräder können sich synchron drehen, wenn sie richtig angeordnet sind. Das gleiche Kunststück funktioniert auch für Kugeln.

Im R4 ist viel Platz – und im R5 erst recht

 
74
Vorstellen kann man es sich nicht, wie es im vierdimensionalen Raum zugeht. Aber die abstrakte Koordinatengeometrie erfasst das Unanschauliche ebenso elegant wie unseren alltäglichen Raum – und der Zahl der Dimensionen ist nach oben keine Grenze gesetzt.

Strick-Muster und der Einheitswürfel im R5

 
80
Geschickt gedreht und beleuchtet, erhellt ein Gebilde aus dem fünfdimensionalen Raum die Geometrie ebener Pflasterungen.
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