Dimensionen standen vor Jahrtausenden ganz am Anfang der wissenschaftlichen Mathematik, und noch heute stehen sie an der Grenze der mathematisch-physikalischen Forschung. In seiner mehr als 2000 Jahre alten Schrift "Die Elemente" hat der antike Mathematiker Euklid folgende Definitionen veröffentlicht:

Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Eine Linie ist eine breitenlose Länge.
Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.

Damit fasst er das zusammen, was uns heute absolut selbstverständlich erscheint. Dimensionen sind die grundsätzlich unterschiedlichen Richtungen im Raum: Länge, Breite und Tiefe. Ein Punkt hat nichts davon, und deswegen handelt es sich um ein nulldimensionales Objekt. Eine Linie hat nur Länge und ist deswegen eindimensional. Auf einer zweidimensionalen Fläche existiert eine zusätzliche Richtung, und der Raum, in dem wir uns im Alltag bewegen, hat drei Dimensionen.

Komplizierter wurde die Angelegenheit, als Albert Einstein nachweisen konnte, dass die Bewegung durch den dreidimensionalen Raum untrennbar mit dem Vergehen der Zeit verknüpft ist und man beides zusammen als vierdimensionale Raumzeit betrachten muss. Und in den Hypothesen der modernen Stringtheorie geht man davon aus, dass der Raum zehn Dimensionen haben muss, von denen wir allerdings nur drei wahrnehmen können, da die Ausdehnung der zusätzlichen Dimensionen unvorstellbar klein ist. Unvorstellbar ist für unser menschliches Gehirn aber sowieso alles, was über drei Raumdimensionen hinausgeht. Wir haben uns in einer Welt entwickelt, die drei Raumdimensionen aufweist, und sich mehr anschaulich vorzustellen, schafft unser Hirn nicht.

Mathematisch ist das dagegen kein Problem. Egal ob drei, vier oder elf Dimensionen: Mit entsprechenden Formeln lässt sich das alles leicht darstellen. Es ist sogar möglich, Dimensionen mathematisch zu beschreiben, die keine ganzen Zahlen sind.

Als ich für meine Diplomarbeit an einer Methode zur Unterscheidung zwischen chaotischen und regulären Zuständen gearbeitet habe, bin ich auf die "fraktalen Dimensionen" gestoßen. Diese Formel beschreibt eine davon:

Fraktale Dimension
© Florian Freistetter
(Ausschnitt)

Es handelt sich um die so genannte Überdeckungsdimension (oder Boxcounting-Dimension). Das Objekt, dessen Dimension man bestimmen möchte, wird von einem Gitter aus Kästchen mit der Seitenlänge ε überdeckt, und man zählt, wie viele Kästchen dafür nötig sind. Das macht man für Kästchen, deren Seitenlänge immer kleiner und im mathematischen Grenzfall unendlich klein wird. Für jede Seitenlänge erhält man so die Zahl N der nötigen Kästchen, und mit der Formel berechnet sich daraus die Dimension D.

Anders ausgedrückt: Man versucht herauszufinden, wie die Anzahl der nötigen Kästchen mit der Verringerung ihrer Seitenlänge skaliert, und aus dem Skalierungsfaktor bestimmt sich die fraktale Dimension. Ist das Objekt zum Beispiel eine Linie, dann verdoppelt sich die Zahl der nötigen Kästchen, wenn man deren Seitenlänge halbiert. Sie verdreifacht sich, wenn man sie drittelt, und so weiter. Der Zusammenhang ist linear oder anders gesagt: Er ändert sich mit der ersten Potenz. Bei einer Fläche ist der Zusammenhang aber quadratisch, ändert sich also mit der zweiten Potenz. Man benötigt in diesem Fall viermal so viele Kästchen, wenn man die Seitenlänge halbiert, 16-mal so viel, wenn man sie viertelt, und so weiter. Die Potenz entspricht hier der aus dem Alltag bekannten Dimension: Eine Linie ist eindimensional, eine Fläche hat zwei Dimensionen.

Die Definition der fraktalen Dimension geht aber über das ursprüngliche Konzept hinaus und kann auch komplexere Strukturen beschreiben. Eine Linie kann zum Beispiel so sehr in sich selbst verschlungen sein, dass sie – zumindest anschaulich – Eigenschaften einer Fläche annimmt. Sie ist dann mehr als nur eine Linie, aber auch noch keine echte Fläche, und hat dementsprechend eine fraktale Dimension, die zwischen den Werten 1 und 2 liegt. Das klassische Beispiel dafür ist die Küstenlinie von Großbritannien: Überdeckt man sie mit entsprechenden Kästchen, benötigt man immer mehr, je kleiner sie werden. Der Zusammenhang ist mehr als linear, aber noch nicht quadratisch; die fraktale Dimension der Küste beträgt in diesem Fall ungefähr 1,25. Andere Küstenlinien weisen andere fraktale Dimensionen auf, die die unterschiedliche Komplexität der Geografie widerspiegeln.

Fraktale Dimensionen findet man aber auch in dynamischen Systemen – und zwar unterschiedliche, je nachdem ob das System chaotisch oder regulär ist. Das konnte ich in meiner Diplomarbeit zeigen. Mathematisch, versteht sich. Denn anschaulich vorstellen kann ich mir die fraktalen Dimensionen nach wie vor nicht.