Knoten bringt man vielleicht nicht sofort mit Mathematik in Verbindung. Ich selbst habe mich das erste Mal intensiv damit beschäftigt, als ich während der Schulsportwoche einen Segelkurs gemacht habe. Bei dem Versuch, einen Palstek, Schotstek oder Rundtörn korrekt zu knüpfen, verschwendete ich kaum Gedanken an Mathematik. Dabei machen sich Mathematiker schon seit dem späten 18. Jahrhundert Gedanken darüber, wie sie Knoten sinnvoll und logisch beschreiben können – etwa mit dieser Formel:

cr(K) = pq

Diese Formel gibt die Kreuzungszahl cr(K) eines Knotens K an. Notiert wird sie durch zwei Zahlen p und q, wobei p die Anzahl der Überkreuzungen angibt und q die Anzahl an Knoten mit derselben Anzahl an Überkreuzungen. Betrachten wir zum Beispiel die "Kleeblattschlinge". Dieser Knoten hat drei Überkreuzungen, und es ist der einzige mögliche Knoten, bei dem das Fall ist. Es gilt also cr(K) = 31.

Bei der Kleeblattschlinge handelt es sich um das einfachste Beispiel eines nichttrivialen Knotens – also eines Knotens, der im dreidimensionalen Raum nicht aufgemacht werden kann, ohne ihn zu zerschneiden. Anders gesagt: Die Kleeblattschlinge ist nicht zu einem "Unknoten" verformbar. So bezeichnen Mathematiker eine einfache geschlossene Schlinge.

Zu erkennen, ob ein bestimmter Knoten trivial ist oder nicht, erweist sich in der Praxis allerdings oft als gar nicht trivial. Dieses "Unknoten-Problem" ist mathematisch immer noch nicht komplett verstanden. Sehr gut verstanden hat man aber mittlerweile die Tatsache, dass die mathematische Beschäftigung mit Knoten nicht nur von theoretischem Interesse ist.

Wenn Physiker beispielsweise in Feynman-Diagrammen die quantenfeldtheoretischen Wechselwirkungen von Teilchen untersuchen, können diese sehr schnell sehr komplex werden. Bei der Analyse solcher Diagramme profitieren die Quantenmechaniker von den Erkenntnissen der Knotentheorie. Ebenso wie die Strukturbiologie: Hier beschäftigt man sich mit der räumlichen Form und Struktur von großen Molekülen und Proteinen, die starken Einfluss auf deren biochemische Eigenschaften haben kann. Mit den mathematischen Methoden der Knotentheorie ist man nun in der Lage zu überprüfen, ob die komplexen Faltungen und Verknotungen von Proteinen mit der von anderen Proteinen übereinstimmen.

Mit der Knotentheorie kann man unter anderem untersuchen, ob bestimmte Moleküle "chiral" sind. Das ist der Fall, wenn ein bestimmter Knoten nicht in sein Spiegelbild transformierbar ist. Auf die Kleeblattschlinge trifft das zu. Je nachdem wie beim Knüpfen dieses Knotens die Schnur über sich selbst geführt wird, entsteht eine "linkshändige" oder "rechtshändige" Schlinge, die nicht ineinander übergeführt werden können, ohne den Knoten zu zerschneiden und neu zu knüpfen.

Die Chiralität von Molekülen ist ebenfalls von Relevanz, wenn man auf der Suche nach dem Ursprung des Lebens ist. Bei den biochemischen Vorgängen des irdischen Lebens wird im Allgemeinen eine der beiden möglichen Spiegelbildvarianten bevorzugt. Die molekularen Bausteine des Lebens findet man allerdings auch im Weltall, zum Beispiel eingebettet in das Eis von Kometen. Sollte man bei zukünftigen chemischen Analysen dieses Materials dort die gleiche Bevorzugung wie bei den Molekülen auf der Erde finden, wäre das ein starkes Indiz dafür, dass die Bausteine für die Entstehung des irdischen Lebens vor langer Zeit mit Kometen aus dem All auf unseren Planeten gelangt sind.

Die mathematische Untersuchung von Knoten ist heute zu einem unverzichtbaren Bestandteil der Topologie geworden. Und hätte ich schon etwas früher von der Knotentheorie erfahren, dann hätte ich damals meine Abschlussprüfung des Segelkurses vielleicht gleich geschafft – und nicht das Knüpfen eines korrekten Palsteks wiederholen müssen …