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Freistetters Formelwelt

Die Münchhausen-Zahl

Mathematik ist mehr als nur simple und langweilige Rechnerei. Würde sich die Mathematik lediglich mit Zahlen beschäftigen, wäre sie bei Weitem nicht das mächtige Werkzeug, das sie ist. Das sieht man, wenn man einen Blick auf den Unterschied zwischen "Ziffer" und "Zahl" wirft.
Münchhausens Ritt auf der Kanonkugel

Zahlen sind wichtig in der Mathematik. Diese Aussage ist trivial. Aber das, was man im Alltag unter einer "Zahl" versteht, unterscheidet sich oft von dem, was die Mathematik darüber zu sagen hat.

Da ist zum Beispiel der Unterschied zwischen einer "Ziffer" und einer "Zahl". Betrachten wir diese Formel:

33 + 44 + 33 + 55 = 3435

Die Zahl 3435 besteht aus den Ziffern 3, 4 und 5 (wobei die 3 zweimal vorkommt). In diesem Fall besteht zwischen den Ziffern und der Zahl ein ganz besonderer Zusammenhang. Potenziert man jede der Ziffern mit sich selbst und addiert die Ergebnisse, erhält man die Zahl, die aus den Ziffern zusammengesetzt ist.

Eine natürliche Zahl, auf die das zutrifft, wird "Münchhausen-Zahl" genannt, und es handelt sich dabei um eine nette Spielerei ohne große weitere Bedeutung für die wissenschaftliche Forschung. Der Zusammenhang hält jedoch durchaus ein paar interessante Erkenntnisse bereit.

Lässt man den trivialen Fall von 11 = 1 beiseite, dann ist 3435 die einzige existierende Münchhausen-Zahl. Allerdings nur, wenn man sich auf das Dezimalsystem beschränkt. Die Basis dieses unseren Alltag dominierenden Zahlensystems sind die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Was diese Ziffern konkret bedeuten, kommt auf die Stelle an, an der sie in einer Zahl auftauchen. Im Beispiel von oben steht die erste Ziffer 3 für "3000", die zweite 3 aber für "30". Die komplette Zahl wird durch jeweiligen Vielfache der Basis 10 zusammengesetzt:

3435 = 3 x 103 + 4 x 102 + 3 x 101 + 5 x 100

Wir sind so sehr an das Dezimalsystem gewöhnt, dass wir kaum über andere Möglichkeiten nachdenken. Die Zahl 3435 könnte man aber zum Beispiel ebenso gut als 110101101011 schreiben, wenn man ein Binärsystem verwendet.

Dort gibt es nur zwei Ziffern: 0 und 1. Wie im Dezimalsystem kommt es auch hier darauf an, an welcher Stelle einer Zahl eine Ziffer auftaucht. Nur sind es hier Vielfache von 2, die gezählt werden, und nicht Vielfache der Basis 10. Die Binärzahl 110101101011 setzt sich zusammen aus:

1 x 211 + 1 x 210 + 0 x 29 + 1 x 28 + 0 x 27 + 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 2048 + 1024 + 256 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 3435

Und was mit 10 und 2 geht, geht auch mit allen anderen natürlichen Zahlen: Ein Zahlensystem kann im Prinzip jede beliebige Basis haben. Wer sich etwa mit dem Farbdesign von Internetseiten beschäftigt, wird dabei auf Farbkodes treffen, die durch Zahlen wie FF8800 oder 0000FF beschrieben werden (in diesem Fall Violett und Blau). Dass diese Ausdrücke uns auf den ersten Blick nicht wie vernünftige Zahlen erscheinen, liegt daran, dass sie im Hexadezimalsystem mit der Basis 16 ausgedrückt werden und man deswegen zusätzlich zu den bekannten zehn numerischen Ziffern 0 bis 9 auch noch die Buchstaben A bis F verwenden muss, um die 16 nötigen Ziffern für das System zusammenzubekommen. Sonst kann man damit aber genauso rechnen wie mit dem Dezimal- oder dem Binärsystem (und die 3435 aus dem Beispiel würde man einfach als D6B schreiben).

Die Wahl der Basis eines Zahlensystems hat weit reichende Auswirkungen auf die Eigenschaften der Zahlen. Während es im Dezimalsystem nur eine einzige Münchhausen-Zahl gibt, kann man in einem System der Basis 9 gleich drei davon finden. In einem System der Basis 6 gibt es zwei Münchhausen-Zahlen; ebenso wie bei Systemen mit der Basis 4 oder 3.

Genau hier findet sich auch der Unterschied zwischen Rechnen und der eigentlichen Mathematik. Die Mathematik versucht möglichst allgemeine Formulierungen zu finden, die nicht von der Basis eines Zahlensystems abhängen. Deswegen findet man in den mathematischen Formeln hauptsächlich Buchstaben sowie andere Symbole und wenige konkrete Zahlen. Mathematik ist sehr viel mehr als nur Rechnerei!

05/2018

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 05/2018

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