Primzahlen: Ständig in Beweisnot
Eines der ersten populärwissenschaftlichen Bücher, das ich über Mathematik gelesen habe, handelte von Primzahlen. Und seit damals lässt mich dieses Thema nicht mehr los. Mir geht es hier so wie vielen anderen Menschen. Ob professionelle Mathematiker oder interessierte Laien: Kaum jemand kann sich der Faszination der Primzahlen entziehen. Aber es handelt sich eben auch um ganz besondere Zahlen.
Ein Grund, warum die Primzahlen und ihre mathematische Untersuchung so außergewöhnlich sind, ist die Tatsache, dass es hier erstaunlich einfach ist, Aussagen und Vermutungen auszusprechen, aber sehr oft ebenso erstaunlich schwer, diese Vermutungen zu beweisen. Was Primzahlen sind, kann jedes Schulkind verstehen: ganze, natürliche Zahlen (ausgenommen die 1), die nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar sind. Herauszufinden, ob eine bestimmte Zahl eine Primzahl ist oder nicht, kann im konkreten Fall zwar durchaus sehr aufwändig sein, die dafür nötigen Techniken sind jedoch ebenfalls im Prinzip allgemein verständlich und viele davon seit der Antike bekannt.
Aber alles, was darüber hinausgeht, ist knifflig. Das fängt schon mit der naheliegenden Frage nach der Anzahl der Primzahlen an. Dass es davon unendlich viele geben muss, konnte auch schon in der Antike bewiesen werden. Ein echtes mathematisches Gesetz, das angibt, wann genau Primzahlen auftreten und ob es bei ihrer Verteilung über die gesamte Menge der natürlichen Zahlen irgendeine Struktur gibt, konnte in den folgenden Jahrtausenden allerdings nicht gefunden werden.
Immerhin existiert der so genannte "Primzahlsatz", der durch folgende Formel definiert ist:
π(x) ist dabei die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x ist. Für x gleich 10 ergibt das beispielsweise 4, denn von allen Primzahlen sind nur 2, 3, 5 und 7 kleiner als 10. Unter den ersten 100 Zahlen findet man 25 Primzahlen; unter den ersten 1000 sind es 168 Primzahlen. Und so weiter: Der Primzahlsatz besagt nun, dass im Grenzfall von unendlich vielen Zahlen die Anzahl der Primzahlen aus der Division von x durch den natürlichen Logarithmus von x berechnet werden kann. Diese höchst erstaunliche Vermutung machte schon der junge Carl Friedrich Gauß im 18. Jahrhundert; bewiesen werden konnte sie jedoch erst fast 100 Jahre später.
Viele andere Annahmen über die Primzahlen sind dagegen immer noch unbewiesen. Zum Beispiel die Aussage, die der deutsche Mathematiker Christian Goldbach im Jahr 1742 aufstellte: "Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen." Um zu verstehen, was damit gemeint ist, muss man nicht mehr Mathematik beherrschen, als man in der Schule lernt. Und trotzdem widersetzt sich diese simple Vermutung seit Jahrhunderten allen Versuchen der Mathematiker, sie entweder zu beweisen oder aber eindeutig zu widerlegen.
Doch warum sollte es den Mathematikern hier anders gehen als den Physikern? Die Primzahlen sind ja in gewisser Hinsicht nichts anderes als die Atome der Zahlen. Sie sind die kleinsten möglichen Einheiten, aus denen alle anderen Zahlen aufgebaut sind. Jede natürliche Zahl lässt sich entweder in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen oder ist selbst eine Primzahl. Und wenn die Physiker Jahrtausende gebraucht haben, um die fundamentale Struktur der Materie zu verstehen (und dabei noch lange nicht am Ende angekommen sind), dann darf man auch den Mathematikern nicht vorwerfen, dass die Primzahlen sie immer noch vor große Rätsel stellen.
Schaden würden ein paar Fortschritte auf dem Gebiet jedoch auch nicht. Bis vor Kurzem waren die Mathematiker regelrecht stolz darauf, dass dieser Bereich der so genannten Zahlentheorie keinerlei praktische Anwendung habe und nur aus reiner Lust an der Erkenntnis betrieben werde. Aber so, wie sich die wissenschaftliche Beschäftigung mit den Atomen von reiner Grundlagenforschung in der Vergangenheit zu einer der wichtigsten Grundlagen unserer technischen Zivilisation entwickelt hat, sind auch die Primzahlen mittlerweile ein unverzichtbarer Bestandteil der modernen Welt geworden. Ihre seltsamen Eigenschaften machen sie zu einer idealen Basis für all die Verschlüsselungsverfahren, mit denen wir unsere privaten Daten bei der Kommunikation über das Internet schützen wollen. Solange wir die Primzahlen allerdings nicht vollständig verstanden haben, wissen wir aber nicht, wie gut dieser Schutz am Ende tatsächlich ist.
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