Mathematische Formeln sind für Menschen ohne mathematische Vorbildung oft schwer oder gar nicht verständlich. Das hat vor allem zwei Gründe. Formeln können zum einen enorm kompakt sein und große Mengen an Informationen auf kleinem Raum darstellen. Um diese Informationen zu verstehen, muss man aber erst wissen, wie man sie aus der kompakten Darstellung extrahieren kann. Zum anderen benutzen die Formeln Symbole, die für alles Mögliche stehen können. Für simple Zahlen ebenso wie für viel abstraktere mathematische Objekte. Ein Symbol kann zum Beispiel anstatt einer Zahl eine Beziehung zwischen Zahlen darstellen, also eine Funktion. Ein Symbol kann aber auch einer ganzen Menge an Zahlen auf einmal entsprechen.

Daher ist es nicht verwunderlich, dass manche Formeln auf den ersten Blick äußerst unscheinbar wirken, auf den zweiten Blick aber höchst erstaunliche Tatsachen beschreiben. Zum Beispiel dieser simpel wirkende Zusammenhang:

Auch für Laien auf den ersten Blick erkenntlich ist das Gleichheitszeichen in der Mitte, das nahelegt, dass eine gewisse Identität zwischen den links und rechts davon stehenden mathematischen Objekten besteht. Die Symbole dafür sind jedoch eher ungewohnt. Das rechts zwischen den zwei senkrechten Strichen stehende "N" mit dem Doppelstrich stellt die gesamte Menge der natürlichen Zahlen dar. Also die ganz "normalen" Zahlen, die man vom Zählen kennt: 1, 2, 3 und so weiter. Das seltsame Symbol links ist der hebräische Buchstabe Aleph (ℵ), der in diesem Zusammenhang die Rolle einer so genannten Kardinalzahl spielt.

Kardinalzahlen sind eine geniale Erfindung des deutschen Mathematikers Georg Cantor. Er fand einen Weg, mit der Unendlichkeit umzugehen, und entdeckte dabei, dass die Unendlichkeit noch viel unendlicher sein kann, als wir uns das vorstellen. Oder vorzustellen glauben: Denn die Unendlichkeit entzieht sich ja per Definition unserer Vorstellungskraft. Dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt – man also ohne Ende immer weiter zählen kann –, ist noch nachvollziehbar (obwohl die wirklich großen Zahlen trotz allem jegliche Vorstellungskraft sprengen). Cantor aber untersuchte den Zusammenhang zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen, also den Zahlen, die zwischen den natürlichen Zahlen liegen. Dazu zählen die Bruchzahlen wie 1/4 oder 5/7, aber auch alle anderen Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind, sondern nur in Dezimalschreibweise mit einer endlosen Folge von Nachkommastellen.

Cantor verglich die "Mächtigkeit" dieser beiden Mengen, also die Zahl der in ihnen enthaltenen Elemente. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält unendlich viele Elemente. Das wird in der oben angeführten Formel beschrieben: Das ℵ symbolisiert die Unendlichkeit. Allerdings die "kleinste Unendlichkeit", denn genau das ist die höchst erstaunliche Tatsache, die Cantor entdeckte: Manche Mengen sind so mächtig, enthalten also so viele Elemente, dass selbst die unendlich vielen natürlichen Zahlen nicht ausreichen, sie alle abzuzählen. Mit seinem berühmten "Diagonalelement" konnte er das für die reellen Zahlen auch mathematisch beweisen. Es gibt von ihnen "mehr als unendlich"; es ist nicht möglich, eine Abbildung zu finden, die jeder einzelnen der unendlich vielen natürlichen Zahlen genau eine reelle Zahl zuordnet und umgekehrt. Am Ende bleiben immer noch reelle Zahlen übrig.

Deswegen wird das ℵ in der Formel auch mit dem Subskript "0" versehen. Um die Mächtigkeit der reellen Zahlen darzustellen, braucht man eine größere Unendlichkeit. Mit Cantors Erfindung der Kardinalzahlen kann man Unendlichkeit auf Unendlichkeit stapeln. So ist die Kardinalzahl ℵ1 "noch unendlicher" als ℵ0, aber – wohlgemerkt – es ist die kleinstmögliche Unendlichkeit oberhalb von ℵ0. Nach demselben Muster kann man von ℵ1 zu ℵ2 gehen, zu ℵ3 und immer so weiter. Ob nun die Mächtigkeit der reellen Zahlen tatsächlich gleich ℵ1 ist oder ob es zwischen den beiden geläufigsten Unendlichkeiten noch etwas anderes gibt: Diese Frage ist unentscheidbar. Das ist die Sache mit der berüchtigten Kontinuumshypothese.

Und wenn man bei ℵ angekommen ist, kann man eine völlig neue Klasse an noch unendlicheren Unendlichkeiten definieren und die unendlichen vielen Alephs einfach durch Beth ersetzen, den zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets: 0ב Genauso wie die natürlichen Zahlen kein Ende habe, gilt das auch für die immer mächtigeren Unendlichkeiten. Und dank Cantors Kardinalzahlen (inklusive des dazugehörigen mathematischen Systems) und der kompakten Symbolik der mathematischen Formeln kann man mit den unendlichen Mengen genauso rechnen, wie man es mit simplen Zahlen tun kann. Genau genommen gilt: NUR weil wir die Unendlichkeiten auf diese Weise mathematisch kompakt fassen können, können wir damit rechnen und sie erforschen. Unsere Vorstellungskraft kann mit dem Darstellungsvermögen der mathematischen Formeln da schon längst nicht mehr mithalten.