Es wäre kein Problem, diese Kolumne Woche für Woche mit Texten über Primzahlen zu füllen. Sie beschäftigen die Mathematiker von der Antike bis in die Gegenwart. Sie sind die Atome der Zahlenwelt und beeinflussen sämtliche Disziplinen der Mathematik. Was eine Primzahl ist, lernt man schon in der Schule: Eine ganze, positive Zahl (größer als eins) die nur durch eins und sich selbst ohne Rest teilbar ist. Was man dort aber meistens nicht lernt, sind die vielen speziellen Arten der Primzahlen, die Mathematikerinnen und Mathematiker im Lauf der Zeit definiert haben.

Etwa die germainschen Primzahlen, benannt nach Sophie Germain: Eine Zahl p ist genau dann eine germainsche Primzahl, wenn auch die Zahl 2p+1 eine Primzahl ist. 11 zum Beispiel erfüllt die Bedingung, da 2*11+1 = 23 ebenfalls eine Primzahl ist. Zwischen 1 und 10 000 kennt man 190 germainsche Primzahlen; wie viele es insgesamt gibt und ob es – so wie bei den normalen Primzahlen – unendlich viele sind, weiß dagegen bis heute niemand.

Bei der Suche nach besonders großen Primzahlen (wie sie zum Beispiel für Verschlüsselungsverfahren verwendet werden) ist das Konzept der Mersenne-Primzahlen wichtig. So nennt man Primzahlen, die in der Form 2^n-1 geschrieben werden können. Jede Menge weitere Primzahlen wurden nach anderen Mathematikern benannt – es gibt aber auch "schwache Primzahlen", "glückliche Primzahlen", "fröhliche Primzahlen" und sogar "sexy Primzahlen". Letztere sind Primzahlpaare deren Differenz genau 6 beträgt, wie zum Beispiel 5 und 11, 7 und 13 oder 11 und 17.

Wer sich weit genug in die Welt der besonderen (und absonderlichen) Primzahlen wagt, kann jede Menge erstaunliche Entdeckungen machen. Zum Beispiel mit dieser Formel, die Wilson-Primzahlen beschreibt:

Wilson-Primzahlen
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(Ausschnitt)
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Das bedeutet nichts anderes als: Eine Primzahl p ist eine Wilson-Primzahl, wenn (p-1)!+1 ohne Rest durch p² teilbar ist. Die Zahl 5 zeigt wie das Prinzip funktioniert. 5-1 ist gleich 4. Das ! ist das Symbol für die fakultative Multiplikation und bedeutet hier, dass wir die Zahlen von 1 bis 4 miteinander multiplizieren müssen: 4! = 1*2*3*4 = 24. Jetzt addieren wir die 1 und landen bei 25. Und das ist ohne Rest durch 5² = 25 teilbar. 5 ist also eine Wilson-Primzahl. Das Prinzip sieht simpel aus und ist leicht anwendbar. Trotzdem kennt man bis jetzt nur noch zwei weitere Wilson-Primzahlen (13 und 563). Wenn es noch mehr Wilson-Primzahlen gibt, dann sind sie auf jeden Fall größer als 500 Millionen. Warum sich gerade diese Zahlen so komisch verhalten, ist unbekannt.

Noch ein wenig seltsamer sind so genannte "illegale Primzahlen". Sie werden nicht mehr über reine Mathematik definiert, sondern haben mit der Programmierung von Computern und dem Rechtssystem zu tun. Illegal wird eine Primzahl genau dann genannt, wenn die in ihr enthaltene numerische Information irgendwo als verboten gilt. Zum Beispiel entdeckte der Programmierer Phil Carmody im Jahr 2001 eine 1401-stellige Primzahl, die identisch mit dem komprimierten Quellcode des Programms DeCSS ist. Mit diesem Programm kann man verschlüsselte Inhalte auf DVDs entschlüsseln und deswegen ist die Verbreitung dieses Programms in vielen Ländern verboten. Theoretisch müsste nach der Entdeckung von Carmody nun auch die Verbreitung der Primzahl verboten sein, was aber nur schwer zu rechtfertigen wäre.

Die Suche nach einer "illegalen" Zahl war Teil des Protestes gegen die strafrechtliche Verfolgung der DeCSS-Autoren. Man wollte einen Weg finden, um das Programm zu verbreiten, der von der Justiz nicht beanstandet werden konnte.

Von diesem Ziel mag man halten, was man will. Die Entdeckung der illegalen Primzahl zeigt aber eindringlich, dass man der Macht von Zahlen und Formeln einfach nicht entkommen kann. Zahlen enthalten Informationen, und jede Information kann mit Zahlen beschrieben werden. Die Mathematik mag oft abstrakt erscheinen. In Wahrheit aber ist sie überall.