Es ist einfach, ein wenig Chaos zu produzieren. Nicht nur simple Unordnung – die kommt ganz von selbst, wenn man zum Beispiel den Schreibtisch nicht aufräumt –, sondern das echte, naturwissenschaftliche Chaos, mit dem sich die Chaostheorie beschäftigt. Als Astronom mit Spezialgebiet Himmelsmechanik musste ich mich bei meiner Arbeit immer wieder mit den chaotischen Effekten dynamischer Systeme auseinandersetzen. Dabei hat es sich oft als hilfreich erwiesen, einen Schritt zurückzugehen und die sehr komplexen Systeme der Natur zu ignorieren. Die (chaotische) Bewegung von Himmelskörpern im Sonnensystem zu berechnen, ist sogar mit Computerhilfe sehr aufwändig. Viel einfacher ist es, die verschiedenen chaotischen Effekte zuerst in einem Modellsystem zu studieren – einem System wie dem "Standard-Map":

Tschirikow-Taylor-Standardabbildung
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(Ausschnitt)
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Diese beiden mathematischen Gleichungen bezeichnet man auch als "Tschirikow-Taylor-Standardabbildung"; es handelt sich um ein iteratives System von Gleichungen beziehungsweise ein "Mapping". Man wählt einen Startwert für die Koordinaten xn sowie yn und berechnet anhand der Formeln neue Werte xn+1 beziehungsweise yn+1. Die dienen als neue Startwerte und werden wieder in die Formeln eingesetzt und so weiter. Man erhält jede Menge Punkte, die die zeitliche Entwicklung des dynamischen Systems darstellen.

Von großer Bedeutung ist dabei der Parameter K, der im Wesentlichen das Ausmaß der Störung im System angibt. Je größer der Wert von K, desto mehr Chaos tritt im System auf. Physikalisch beschreibt das Standard-Map die Bewegung eines periodisch angestoßenen Rotators, den man sich als Stab vorstellen kann. Er rotiert reibungsfrei um eine Achse, die sich an einem seiner Enden befindet, während das andere in periodischen Abständen angestoßen wird. "K" gibt dabei die Stärke des Stoßes an.

Das Standard-Map lässt sich mit ein paar Zeilen Computerkode leicht auf jedem PC berechnen. Wer das selbst machen will, muss aber noch beachten, dass x und y nur im Bereich zwischen 0 und 2 definiert sind. Für jeden Wert von K kann man mit den errechneten Werten von x und y ein zweidimensionales Bild zeichnen, den so genannten "Phasenraum", der den dynamischen Zustand zeigt. Reihen sich die Punkte entlang einer Linie auf, dann beschreiben sie geordnete Bewegungszustände; bilden sie über das ganze Diagramm verteilte Punktwolken, dann hat man es mit einem chaotischen Zustand zu tun.

Besonders interessant ist es jedoch, dabei zuzusehen, wie sich das Erscheinungsbild des Phasenraums ändert, wenn man den Störungsparameter K variiert. Dann zeigen sich in dieser formal simplen Abbildung all die komplexen Phänomene des Chaos. Geordnete Bewegungszustände brechen zusammen; das Chaos breitet sich immer weiter aus – aber nicht komplett. Immer wieder tauchen "Inseln" der Ordnung im chaotischen "Meer" auf; kleine Regionen von Anfangszuständen, die trotz der überwältigenden Fülle des Chaos geordnete Bewegungszustände hervorrufen. Zoomt man in den Phasenraum hinein, dann findet man immer neue Details und erkennt die fraktale Natur der chaotischen Dynamik: Ein kleiner Ausschnitt zeigt genau die gleiche Struktur wie das große Ganze.

Ich weiß nicht, wie oft ich mein Computerprogramm zum Standard-Map laufen ließ – aber es hat sich jedes Mal gelohnt. Mein Lieblingsergebnis haben wir damals gemeinsam mit griechischen Mathematikern gefunden. Wir konnten mathematisch nachweisen, dass das Chaos niemals komplett überhandnimmt. Die geordneten Bereiche schrumpfen zwar, wenn die äußeren Störungen wachsen, werden in periodischen Abständen allerdings auch stets wieder ein wenig größer.

Gleich wie groß das Chaos wird, ein klein wenig Ordnung lässt sich also trotzdem immer finden. Das lässt sich leider nicht auf das menschliche Leben umdeuten – dennoch ist es eine schöne Erkenntnis!