Eine der ersten Vorlesungen, die ich in der Anfangsphase meines Astronomiestudiums besucht habe, hieß "Einführung in die Tensorrechnung". Sie stand nicht auf meinem Lehrplan und war auch nicht verpflichtend. Aber "Tensorrechnung" klang faszinierend; von "Tensoren" hatte ich in der Schule nichts gehört, und als Student im ersten Semester ist man meistens noch ausreichend motiviert und macht mehr, als man eigentlich müsste.

Der Stoff der Vorlesung war damals noch ein klein wenig zu schwierig für mich. Aber immerhin wusste ich danach, was "Tensoren" sind. Und diese trifft man in der Physik und Astronomie ständig – zum Beispiel in den berühmten Feldgleichungen aus Albert Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie.

Feldgleichung aus Einsteins Relativitätstheorie

In dieser Form sehen sie eigentlich recht harmlos aus: drei Symbole und ein Gleichheitszeichen, die aber trotzdem nicht weniger beschreiben als die Gesamtheit von Raum und Zeit. Ein Grund für diese Simplizität sind die Tensoren. Auf der linken Seite der Gleichung steht der so genannte "Einsteintensor" Gμν, der – vereinfacht gesagt – die Krümmung der Raumzeit beschreibt. Rechts findet man die "Einsteinkonstante" κ, die unter anderem aus der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit berechnet wird, und den "Energie-Impuls-Tensor" Tμν. Die griechischen Buchstaben μ und ν deuten an, dass es sich bei G und T nicht um einfache Zahlen handelt.

Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt die Materie und die Strahlung, die im Raum vorhanden sind – und dafür reicht eine einfache Zahl nicht aus. Der Raum hat drei verschiedene Richtungen, und die zeitlichen Veränderungen dürfen ebenfalls nicht ignoriert werden. Das Symbol Tμν ist daher ebenso wie der Einsteintensor Gμν eine Abkürzung für eine Matrix aus 4 x 4 = 16 Einträgen. Die drei Symbole in der Gleichung repräsentieren also in Wahrheit ein ganzes System aus vielen voneinander abhängigen Gleichungen. Und nur die Schreibweise in Form von Tensoren lässt Einsteins Feldgleichungen so kompakt erscheinen. Wollte man ganz exakt sein, müsste man sogar noch die kosmologische Konstante mit einschließen.

Ein Tensor muss aber nicht unbedingt eine zweidimensionale Matrix darstellen, wie das bei den einsteinschen Gleichungen der Fall ist. T und G sind Tensoren "zweiter Stufe", und die Einträge in der Matrix werden durch zwei Symbole – hier typischerweise μ und ν – indiziert. Es gibt aber auch Tensoren erster Stufe, die nur ein Indexsymbol besitzen und besser unter dem Namen "Vektor" bekannt sind.

Vektoren wiederum findet man überall in der Physik, zum Beispiel in der Gleichung, die später von Einsteins Feldgleichungen ersetzt worden ist: Newtons Gravitationsgesetz beschreibt die Kraft, die zwischen zwei Massen wirkt. Diese Kraft kann in unterschiedlichen Raumrichtungen unterschiedlich stark sein, und man benötigt daher auch drei Zahlen, um sie komplett zu beschreiben. Diese drei Zahlen bilden einen Vektor.

Ich selbst bin bei meiner Arbeit als Astronom mit den Vektoren in Newtons Gravitationsgesetz immer gut ausgekommen. Bei meinen Berechnungen zur Stabilität von Planetensystemen war diese einfachere Theorie noch ausreichend genau, und ich musste nie auf die exaktere, aber auch mathematisch viel kompliziertere Theorie von Einstein zurückgreifen. Und trotzdem war ich froh, im ersten Semester die Vorlesung über Tensorrechnung besucht zu haben. Mit Tensoren lassen sich viele Dinge sehr kompakt und elegant notieren, und die Beherrschung der entsprechenden Techniken erspart einem viel Schreibarbeit. Aber das gilt nur, solange die Forschung einigermaßen abstrakt bleibt. Wenn man dann konkrete Phänomene im Universum berechnen will, bleibt einem meistens nichts anderes übrig, als all die schönen, kompakten Formeln mit ihren Tensoren wieder aufzudröseln und sich in das Gewirr der Gleichungen zu stürzen …