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Es ging in dem Wettbewerb keineswegs nur um eine alles erlaubende Kunst, sondern um mathematische Kunst. Sobald die Mathematik von der Kunst abgekoppelt wird, verliert das Ganze seinen Sinn. Im Übrigen waren die Kunstwerke ausdrücklich aus algebraischen Flächen zu erstellen.
09.06.2008, Henning Meyer, Universität Kaiserslautern
Durch Rundungsfehler erzeugt (x^2)(y^2)(z^2)-(x*y)(y*z)(z*x) Bilder.
Intern wendet Surfer eine Koordinatentransformation an (die Drehungen des Benutzers), bevor die Gleichung ausgewertet wird. Statt
(x^2)(y^2)(z^2)-(x*y)(y*z)(z*x)
berechnet das Programm
(u^2)(v^2)(w^2)-(u*v)(v*w)(w*u)
mit z. B.
u = 0.48177*x+(-0.861216)*y+(-0.161879)*z;
v = -0.545541*x+(-0.439331)*y+(0.713704)*z;
w = -0.685772*x+(-0.25553)*y+(-0.681485)*z;
In der Gleichung werden die Terme in unterschiedlicher Reihenfolge miteinander multipliziert, durch Rundungsfehler heben sie sich nicht weg.
Surfer rechnet mit Gleitkommazahlen, die haben eine Genauigkeit von etwa 16 Dezimalstellen.
Bei Multiplikationen von 6 Zahlen mit 6 Nachkommastellen braucht man 36 Dezimalstellen, um Rundungsfehler mit Sicherheit zu vermeiden.
Obiges Beispiel führt statt 0 = 0 auf die Gleichung
Ich freue mich über jede Reaktion zu meinen eingesandten Bildern und Animationen, die man allesamt der Kategorie "Spielerei" zuordnen könnte. Und ich gebe zu, ich hatte großen Spaß beim Spielen! :-)
Geschmäcker sind bekanntlich verschieden, und so wundert es mich nicht, dass einige Bilder auf Missfallen stoßen. Besonders kritisiert wurden solche, die Herr Derksen als "Schmutzeffekte" bezeichnet. Ich habe sie in die Leserbildgalerie eingestellt (nach Einsendeschluss zum Wettbewerb), um darüber mit anderen diskutieren zu können, da ich mir tatsächlich nicht erklären kann, wie sie zustande kommen. Der Diskussionsgedanke wurde aufgegriffen, aber eine befriedigende Erklärung habe ich noch nicht gefunden. Natürlich weiß ich, dass die faszinierenden Effekte durch numerische Ungenauigkeiten erzeugt werden und dass die dadurch entstandenen Bilder keine algebraischen Flächen darstellen. Trotzdem interessiert mich, wie solche Gebilde durch das Surf-Programm genau entstehen. Ich bin gespannt auf weitere Wortmeldungen und auch auf das Augustheft mit Erklärungen der Surfer-Experten.
In den Artikel "Mathe ist überall!" haben sich ein paar kleine Fehler eingeschlichen:
1) Aktuelle Verschlüsselungstechniken machen sich NICHT die "Unberechenbarkeit der Primzahlen", sondern die "Unberechenbarkeit der Primzahlzerlegung" zu nutze. Wobei "Unberechenbarkeit" auch nicht ganz richtig ist, nur die zu erwartende Dauer der Berechnung ist unverhältnismäßig groß.
2) Weiterhin ist es nicht richtig, dass sich in einem zeitlich überschaubaren Rahmen nicht prüfen, ob eine Zahl mit vielen Ziffern eine Primzahl ist oder nicht. Im Gegenteil, zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, geht extrem schnell, aber die ZERLEGUNG einer (nicht Prim-) Zahl in ihre Faktoren kann sehr lange dauern.
3) In der Public-Key-Kryptograpie haben nicht NUR der Sender und Empfänger die nötigen Informationen zur Verschlüsselung. Es ist sogar so, dass die ganze Welt (public) die nötigen Informationen zur VERschlüsselung, aber NUR der Empfänger die Informationen zur ENTschlüsselung hat.
Insgesamt jedoch vielen Dank für den positiven Artikel über die Mathematikausstellung auf dem Wissenschaftsschiff.
in ihrem Artikel zur „Verschränkung zweier Spiegel“ stieß ich auf einen Absatz der fast aus einer Herstellungsvorschrift homöopathischer Mittel stammen, und wenigstens den Sinn des „Dynamisierens, Potenzierens“ besser als bisherige Hypothesen erklären könnte: „Verschränkung…(kann man) erzeugen in dem man zwei Objekte einer gemeinsamen Kraft aussetzt und sie so in eine starke gegenseitige Abhängigkeit bringt. (Sie)…beginnen eine neue Einheit zu bilden.“ Und später: „Wenn sich die Spiegel …synchron wie asynchron bewegen, zeigen sie damit an, dass sie zu einer quantenmechanischen Einheit verschmolzen sind.“
Während die Quantenphysik versucht, Beweise für ihre Theorien im Makrokosmos zu finden, versuchen die Homöopathen eine tragfähige Theorie für die Beweise, die sie in ihrer täglichen Arbeit sehen, zu finden, da in der Medizin mitunter ausgeblendet wird, was man nicht versteht. Könnte in der Verschränkung eine Brücke liegen? Wenn bei der „Dynamisierung“ * von Arzneien deren Wirkungen mit kräftigen Schüttelschlägen auf eine Trägersubstanz übertragen werden, die dann im gesunden Probanden eine Arzneimittelwirkung (ähnlich der Vergiftung) hervorrufen können (synchron) und im möglichst ähnlich Erkrankten eine Gegenwirkung veranlassen (asynchron)? Hierbei ist der Zeitfaktor ein vergleichsweise unbedeutender, aber es handelt sich ja auch um biologische Systeme, die dem Umgebungseinfluss nicht entzogen werden können (auch wenn das bereits vom Entdecker der Homöopathie, Dr. Hahnemann (1755 – 1843) gefordert worden ist. (§252, S 2321 ))
Der Vergleich mag auf den ersten Blick weit hergeholt sein, zumal ich als Arzt keine ausreichende Quantenphysik Grundlage habe, doch bringen vielleicht gerade die absonderlichen Analogien und Beobachtungen neue Impulse. Daher wäre ich Ihnen für eine Stellungnahme dankbar.
*§ 269, Anm. 2, S 2441: „ Man hört noch täglich die homöopathischen Arznei-Potenzen bloß Verdünnungen nennen, da sie doch das Gegentheil derselben, das ist …Offenbarung der in ihrem inneren Wesen verborgen gelegenen, specifischen Arzneikräfte sind, durch Reiben und Schütteln bewirkt, wobei ein zu Hülfe genommenes unarzneiliches Verdünnungs-Medium bloß als Neben-Bedingung hinzutritt. Verdünnung allein … wird schier zu bloßem Wasser.“
1 Hahnemann S, Organon original, letzte und 6. Auflage (1842), Barthel&Barthel, Schäftlarn 1994
Mit freundlichen Grüßen,
Jörg Hildebrandt,
St. Pölten
Stellungnahme der Redaktion
Antwort des Autors:
Sehr geehrter Herr Hildebrandt,
vielen Dank für Ihr Interesse an meinem Artikel "Verschränkung zweier Spiegel".
Ein wesentlicher Gesichtspunkt der Quantenphysik ist es, die Dinge (zum Beispiel Lichtteilchen oder hier: die Spiegel) auf eine minimale Komplexität zu reduzieren. Dabei ist es natürlich entscheidend, ob diese Reduktion tatsächlich in die Realität umgesetzt ist.
Bei den verschränkten Spiegeln spiegelt sich diese Reduktion darin wieder, dass die Spiegelbewegung mehr oder weniger vollständig durch die Bewegung ihrer Schwerpunkte beschrieben werden können. Die Bewegung der einzelnen Atome, aus denen der Spiegel besteht, darf keine Rolle spielen.
Im Experiment müssen wir die Spiegel daher kühlen, damit es unwichtig wird, dass der Spiegel aus kleineren Einheiten, den Atomen, besteht. Die Bewegungsmöglichkeiten der Atome werden eingefroren. Wäre der Spiegel warm, so könnte man die Spiegelbewegung nur dann vollständig beschreiben, wenn man die Bewegung der einzelnen Atome kennt, aus denen der Spiegel zusammengesetzt ist. Eine Verschränkung von "zwei Spiegeln" wäre dann allerdings prinzipiell unmöglich. Man würde sich dann wieder im Bereich des Mikroskopischen befinden und könnte evtl. zwei Atome miteinander verschränken.
Ich persönlich glaube, dass alle Beobachtungen, die mit lebenden Organismen zu tun haben, wie zum Beispiel die Effekte von Medikamenten auf Menschen, nicht mit der Quantenphysik erklärt werden können. Leben beruht ja gerade auf dem Vorhandensein extrem großer Komplexität! Wenn die Physik zur Klärung beitragen kann, dann eher im Rahmen der klassischen Physik, in der Quanteneffekte keine Rolle spielen. Aber ich glaube, dass aufgrund der hohen Komplexität ein physikalischer Erklärungsansatz generell schwierig ist.
Ich hoffe, ich konnte Ihnen mit diesen Ausführungen behilflich sein.
Als Goya mehrere verdünnte Farbschichten übereinander auftrug, Rembrandt mit Spachtel und Pinselstiel agierte, Georges Seurat die Bildfläche in Punkte auflöste, Georges Braque die Perspektive abstrahierte, Henri Toulouse-Lautrec seine Zahnbürste zweckentfremdete, Yves Klein monochrom malte, Gotthard Graubner seine Malleinwand hinterpolsterte - wurden sie alle genau dafür kritisiert, dass sie sich nicht an die Gepflogenheiten hielten.
Fast jede Neuerung in der Kunst ist durch Regelverstöße entstanden.
Dazu gehört, quasi der Ansatz des Wettbewerbs, auch die mathematische Grundlegung eines Bildes: Victor Vasarely, Maurits Cornelis Escher und Piet Hein haben diese Kritik zu hören bekommen.
Mathematisch gesehen ist ein Bild mit der Grundlage 0=0 Unsinn. Diese Bedingung ist im gesamten von surfer dargestellten Raumteil erfüllt; eine Fläche dürfte nicht erkennbar sein. Dennoch gibt es offenbar zahllose Beispiele dafür, dass dennoch eine Darstellung erfolgt.
Frühe Belege dafür waren im Wettbewerbsverlauf "fasces" von H. Heinrich (und die umliegenden Bilder zum Thema Pokal) oder meine "Textilkunst". Dass dies später noch einmal die Wettbewerbsgemeinde beschäftigte, hat mich gefreut. Ich war gerade mit anderem beschäftigt.
Vor allem Funktionsgleichungen, die außer etwaigen Nullstellen (den dargestellten Flächen) nur Werte gleichen Vorzeichens liefern, zeigen das Verhalten, das die verschiedentlich dargestellten unscharfen Flächen illustrieren.
Versuchen Sie einmal folgende Fläche auf irgendeinem Rechner, aus dem surfer läuft, egal unter welchem Betriebssystem:
128*(x^2+y^2+(z-1)^2)^4-256*(x^2+y^2+(z-1)^2)^3+160*(x^2+y^2+(z-1)^2)^2-32*(x^2+y^2+(z-1)^2)+2
Verändern Sie den Zoom und die Betrachtungsrichtung. Obwohl die Fläche eindeutig definiert ist (zwei Kugeln, deren Radius den beiden positiven Nullstellen des verwendeten, um 1 verschobenen Tschebyschow-Polynoms entspricht) und einfarbig sein sollte - alle Funktionswerte sind >=0, kann surfer sich nicht zuverlässig entscheiden. Die Verschiebung in z-Richtung soll nur dafür sorgen, dass die Kugeln auch angeschnitten werden, so dass Innen- und Außenseite zugleich sichtbar werden.
Selbst wenn Sie die Zahl der Iterationen und die maximale Abweichung epsilon verändern, bleibt das Verhalten im Grundsatz bestehen, ebenso bei Veränderung des "antialiasing"-Werts.
Das ist interessant und vorerst nicht erklärlich, vor allem aber künstlerisch zu verwerten.
Vielleicht sollte also, vergleichbar den Quellenangaben zu Internetseiten, die inzwischen auch wissenschaftlich üblich sind, bei den entsprechenden Bildern die Versionsnummer von surfer sowie die genaue Konfiguration des verwendeten Computers angegeben werden, einschließlich des Betriebssystems.
Am ästhetischen oder gar künstlerischen Wert eines Bildes aber ändert all dies nichts, genauso wenig wie ich wissen müsste, welchen Verdünner Paul Klee benutzte oder wer seine Leinwand lieferte.
Insofern finde ich mathematische Kritik an Hiltrud Heinrich oder Bianca Violet verzichtbar.
Die Jury möchte ich ausdrücklich bitten, diese Bilder mit aufzunehmen. Sie verstoßen nicht gegen die Regeln des Wettbewerbs.
"Die Ursache für dieses Phänomen sieht sie in den Saisonmustern bei Geburten."
Dieser Satz ist hier falsch, denn bei gleicher Verteilung der Geburtstage auf die (365) Tage des Jahres ergibt sich rechnerisch die angegebene WS.
MfG
Sie fragten ausdrücklich: „Kann das jemand erklären?“. Dies veranlasste mich, Ihnen die Erklärung zu liefern. Normalerweise ist jemand, der sein Problem gelöst bekommt, dankbar. Ob Ihnen der Ausdruck „Pseudozufälligkeiten“ nun gefällt oder nicht, um nichts anderes handelt es sich hier objektiv. Würde bei gleichen Randbedingungen stets etwas anderes, nicht Vorhersehbares entstehen, wären es echte Zufälligkeiten, also nicht determinierte Ereignisse. Das ist mit einem Rechnerprogramm naturgemäß nicht zu erreichen.
In dem Artikel wird das für Vögel und Insekten gewonnene Gesetz zwischen Körpermasse und Fluggeschwindigkeit auch auf Flugzeuge extrapoliert (Abb. S 40 unten, Text S. 41). Demnach steigt die Fluggeschwindigkeit mit der Masse hoch 0,17.
Stimmt das bei Flugzeugen wirklich? Wohl kaum! Heutige Strahlflugzeuge (Transporter, Passagierflugzeuge aller Größen, Businessjets) haben weit gestreute Massen und fliegen alle knapp unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Mach 0,8-0,9). Weder fliegen kleinere Strahlflugzeuge (Businessjets, Kampfflugzeuge) langsamer, noch fliegen große Schneller. Hier gelten viel mehr Parameter als nur die Masse, z.B. Kunden-/ Missionanforderungen, Zeit, Antriebstechnik, Kosten, Widerstand im transsonischen Bereich bzw. Nähe zur Schallgeschwindigkeit. Diese lassen sich nicht auf die Masse reduzieren, bzw. sind von ihr unabhängig. Gerade einige kleine Businessjets sind heute die schnellsten Zivilflugzeuge. Die Concorde hingegen flog mit doppelter Schallgeschwindigkeit und war bei weitem nie eines der größten Flugzeug.
Stellungnahme der Redaktion
Die Formel der Autoren für den Zusammenhang zwischen Körpermasse und Fluggeschwindigkeit bezieht sich auf Mittelwerte für Insekten, Vögel und Flugzeuge. Wie das Diagramm auf S. 40 unten zeigt, streuen wie die Werte für Flugzeuge auch die Werte für Vögel über einen großen Bereich.
Dr. Michael Springer
Meine intensive kreative Arbeit mit dem Surfer als Spielerei "ohne Sinn und Verstand" zu bezeichnen, finde ich stark. Auch den Satz "so etwas passiert eben, wenn nur herumprobiert, aber nicht gedacht wird", der sich wie die obige Bemerkung auf Bianca Violet bezieht, aber sicher auch mir gilt, finde ich im Ton unangemessen.
Ich wusste, dass meine strittige Gleichung 0=0 bedeutet (daher auch die Titel:"Unmögliche Figur"), aber die vielen verschiedenartigen Bilder, die ich mit dem anscheinend ungenau rechnenden Programm schaffen konnte, finde ich durchaus großartig und faszinierend, und der Ausdruck Pseudozufälligkeiten scheint mir nicht angebracht.
Auch ich freue mich, wenn ich ein gutes Arbeits-Ergebnis mittels eines genauen Plans erhalte (die eher mathematische Seite), künstlerische Arbeit aber lebt auch vom spontanen und überraschenden Einfall. Und ein angeblich "zufällig entstandenes hübsches Ergebnis" erfordert eine Menge gestalterischer Arbeit; mit dem Surfer könnte man nämlich auch viel "Schrott" produzieren.
Ich habe die Arbeit mit dem Surfer jedenfalls als sehr aktiv und begeisternd erlebt.
Außerdem steht in der Ausschreibung ausdrücklich: "Mathematische Vorkenntnisse sind hilfreich, aber nicht Bedingung."
Daraus könnte man ja wohl folgern, dass beim Mathekunst-Wettbewerb die Betonung entweder auf der Mathematik oder der Kunst liegen könnte. Wie hätte denn z. B. jemand wie ich (gymnasiale Mathematikkenntnisse + 2 Semester Naturwissenschaftler-Mathematik) gezielt komplizierte Figuren konstruieren sollen?
Hätten wir "Künstler" mit wenig Mathematik-Kenntnissen uns nicht beteiligen sollen?
Nein – dazu hat es viel zu viel Spaß gemacht!
In diesem Artikel haben Sie auf der Seite 26 oben links geschrieben, dass der Abstand zu sehr weit entfernten Galaxien mit Überlichtgeschwindigkeit wachsen kann. Aber nach meinen Kenntnissen der Relativitätstheorie wäre das unmöglich. Denn die Theorie besagt, dass sich kein Objekt schneller als das Licht bewegen kann. Selbst wenn sich zwei Objekte, beide mit Lichtgeschwindigkeit, in entgegengesetzte Richtungen bewegen, entspricht die Gesamtgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit. Aber das ist in diesem Fall nicht besonders wichtig, da im Text ebenfalls steht, dass sich die Milchstraße im Zentrum des expandierenden Universums befindet und sich somit nicht oder nur sehr langsam bewegt.
Die Autoren schreiben, dass ein Schwimmer zum Vorankommen um eine Körperlänge eine "Arbeit leisten" [sic] muss, die dem Anheben eines Wasservolumens gleich seinem Körpervolumen auf eine Höhe etwa gleich seiner Körpergröße entspricht. Meinen die Autoren physikalische Arbeit
(Energie) oder doch eher physikalische Leistung (Arbeit pro Zeit)?
In konkreten Zahlen müsste ich circa 70 Liter Wasser auf etwa 1,7 Meter Höhe heben. Benutze ich einen Flaschenzug mit vielen Rollen und lasse mir 2 Tage Zeit, so ist die Anstrengung, also die zu erbringende physikalische Leistung, sehr klein. Vermutlich soll eher die Leistung gleichgesetzt werden. Das Hochheben sollte also in derselben Zeit passieren, wie die Fortbewegung. Da ich 50 Meter in etwa 50 Sekunden schwimmen kann, müsste ich die 70 Kilogramm Wasser in knapp 1,7 Sekunden auf 1,7 Meter Höhe heben. Mit 1 Meter pro Sekunde zu schwimmen über fast eine Stunde ist anstrengend aber möglich. Aber eine Stunde lang alle 1,7 Sekunden 70 Kilo auf Körperhöhe zu stemmen, halte ich für komplett unmöglich.
Wo ist der Denkfehler: die Autoren beschreiben ganz richtig, dass ich beim Schwimmen das Wasser anheben muss, damit es an meinem Körper vorbeilaufen kann, da es nicht kompressibel ist und daher nicht zur Seite oder nach unten "ausweichen" kann. Leider vergessen die Autoren anscheinend, dass das angehobene Wasser hinter meinem Körper wieder runterfließt. Dadurch geht die potentielle Energie, die ich durch Hochheben des Wassers hineingesteckt habe, dem Wasser verloren. Als Energiesenken kommen in Frage: Wärme durch Reibung, kinetische Energie durch Strömung. Insbesondere Letztere sorgt vermutlich für einen Saugeffekt, der die Arbeit, die ich durch Hochheben verrichte, weit gehend ausgleicht. Schwimme ich kontinuierlich, so muss ich die Arbeit des Hochhebens nur einmal beim Start verrichten, und bekomme sie nach meinem letzten Schwimmzug sogar wieder zurück.
Stellungnahme der Redaktion
Die Rechnung der Autoren ist eine grobe Schätzung allein schon deshalb, weil der Schwimmkörper (Fisch oder Mensch) als Würfel behandelt wird.
Ein würfelförmiger Mensch hätte aber nicht die übliche Körperhöhe, sondern wäre nur knapp 1 Meter hoch und lang. Wenn ein Mensch sich z.B. mit den Beinen vom Beckenrand abstößt, um in Wasser horizontal 1 Meter voranzukommen, entspricht dies nach dem Ansatz der Autoren ungefähr der Arbeit, die er aufwendet, um aus sitzender Position aufzustehen (Höhendifferenz ca 1 Meter). Das erscheint nicht unplausibel.
Michael Springer
Ich finde es persönlich schade, dass über k3dsurf so etwas in Umlauf gebracht wird wie "ist nur für einfache algebraische Gleichungen geeignet". Immerhin bewältigt k3dsurf auch die Sartis-Sextik, eine Fläche vom Grad sechs mit 48 gewöhnlichen Doppelpunkten (http://www.jotero.com/bilder/k3dsurf/sartis_sextic.png).
Siehe auch die Seite von k3dsurf: http://k3dsurf.sourceforge.net/
Ich könnte viele schöne Modelle zeigen, die man mit k3dsurf und gleichzeitig mit Surfer erzeugen könnte.
Mir geht es aber um die Fertigung von neuen Flächen und Designformen und nicht um den mathematisch-wissenschaftlichen Aspekt ;)
Es ist noch nicht lange her, dass Sie mir anlässlich meiner in der 70er Jahren entwickelten transzendenten Herzformel schrieben, die Beschränkung auf „algebraische Flächen“ sei zur Vermeidung von Ausuferung nicht verhandelbar. Nun sind die aus Rechenunzulänglichkeiten entstandenen Pseudozufallsprodukte weder rechnerunabhängig reproduzierbar, noch werden sie durch die mitgeteilten Formeln zutreffend beschrieben, noch stellen sie überhaupt algebraische Flächen dar. Künstlerische Freiheit daher in allen Ehren, aber meines Erachtens erfüllen die visualisierten Rechenfehler, so beeindruckend sie vom ästhetischen Standpunkt aus mitunter auch sein mögen, die Wettbewerbsbedingungen nicht.
Stellungnahme der Redaktion
Das ist in der Tat ein Punkt, der in den Wettbewerbsbedingungen – da nicht vorgesehen – nicht vorab geklärt worden ist. Die Jury (deren Mitglied ich bin) wird darüber zu entscheiden haben; um der Entscheidung nicht ungebührlich vorzugreifen, halte ich mich mit meiner persönlichen Meinung zurück.
In dem Artikel von M. du Sautoy wird kurz angedeutet, dass sich die Drehgruppe des 15-Ecks aus den Drehgruppen des Pentagons und des Dreiecks zusammensetzen lässt. In seinem Buch "Symmetry" präzisiert du Sautoy die Möglichkeiten der Drehgruppen wie folgt: "If you take a regular two-dimensional polygon with a prime number of sides, then the rotational symmetries of this prime-sided shape cannot be built from those of smaller objects. Not only that, but these prime-sided figures are the building blocks for the symmetries of all the other regular two-dimensional polygons." Du Sautoy gibt mit dem regulären 105-Eck ein weiters Beispiel, dess Drehgruppe sich aus den Drehgruppen eines "eingeschriebenen" Dreiecks, Pentagons und 7-Ecks erstellen lässt.
Wie funktioniert diese Methode aber, wenn es sich bei dem regulären zweidimensionalen n-Eck beispielsweise um ein 9-Eck handelt (oder ein anderes Polygon, dessen Anzahl von Ecken dem Quadrat einer Primzahl entspricht)? Die Drehgruppe des Nonagons lässt sich zwar als das Produkt der Drehgruppen zweier Dreiecke beschreiben, allerdings ist mir nicht klar, wie man diese Tatsache ähnlich bildlich darstellen kann, wie es für das 15-Eck im Heft 5/08, S. 88 gezeigt ist. Funktioniert diese Methode im Fall des Nonagons und der "eingeschriebenen" Dreiecke nicht oder gibt es eine Möglichkeit, diesen Fall ähnlich anschaulich zu zeigen?
Stellungnahme der Redaktion
Es funktioniert auf jeden Fall nicht so schön wie bei teilerfremden Faktoren. Eine Untergruppe der Neunecksgruppe ist die Gruppe der Drehungen um Vielfache von drei Neunteln (= einem Drittel) des Vollwinkels. Das ist die Symmetriegruppe eines Dreiecks, das man ins Neuneck einbeschreiben kann.
Damit hat man einen Faktor der Zerlegung. Aber der andere Faktor! Offiziell ist es eine Gruppe von Nebenklassen. Ihre Elemente sind so etwas wie die Elemente der ursprünglichen Neunecksgruppe "modulo der Dreiecksgruppe"; das heißt, zwei Elemente, die sich nur um eine oder zwei Drittelsdrehungen unterscheiden, werden miteinander identifiziert. Natürlich hat diese Gruppe ebenfalls drei Elemente und ist damit isomorph zur Dreiecksgruppe. Aber eine anschauliche Darstellung dafür will mir nicht einfallen.
Zur Anerkennung der Beiträge mit Zweckentfremdung
10.06.2008, Dipl.-Ing. Norbert Derksen, KonstanzWarum erzeugt die Formel 0=0 Bilder?
09.06.2008, Henning Meyer, Universität KaiserslauternIntern wendet Surfer eine Koordinatentransformation an (die Drehungen des Benutzers), bevor die Gleichung ausgewertet wird. Statt
(x^2)(y^2)(z^2)-(x*y)(y*z)(z*x)
berechnet das Programm
(u^2)(v^2)(w^2)-(u*v)(v*w)(w*u)
mit z. B.
u = 0.48177*x+(-0.861216)*y+(-0.161879)*z;
v = -0.545541*x+(-0.439331)*y+(0.713704)*z;
w = -0.685772*x+(-0.25553)*y+(-0.681485)*z;
In der Gleichung werden die Terme in unterschiedlicher Reihenfolge miteinander multipliziert, durch Rundungsfehler heben sie sich nicht weg.
Surfer rechnet mit Gleitkommazahlen, die haben eine Genauigkeit von etwa 16 Dezimalstellen.
Bei Multiplikationen von 6 Zahlen mit 6 Nachkommastellen braucht man 36 Dezimalstellen, um Rundungsfehler mit Sicherheit zu vermeiden.
Obiges Beispiel führt statt 0 = 0 auf die Gleichung
8.673617e-19*x^0*y^0*z^6 +1.387779e-17*x^0*y^1*z^5
-2.428613e-17*x^2*y^0*z^4 +2.775558e-17*x^1*y^1*z^4
-8.326673e-17*x^2*y^1*z^3 -8.326673e-17*x^1*y^2*z^3
-2.775558e-17*x^4*y^0*z^2 +2.775558e-17*x^3*y^1*z^2
-2.775558e-17*x^2*y^2*z^2 -8.326673e-17*x^1*y^3*z^2
-1.387779e-17*x^0*y^4*z^2 +2.081668e-17*x^5*y^0*z^1
-5.551115e-17*x^4*y^1*z^1 +3.989864e-17*x^3*y^2*z^1
+2.775558e-17*x^2*y^3*z^1 +3.469447e-17*x^1*y^4*z^1
-3.469447e-18*x^0*y^5*z^1 +6.938894e-18*x^6*y^0*z^0
-2.081668e-17*x^5*y^1*z^0 +2.775558e-17*x^4*y^2*z^0
+2.081668e-17*x^3*y^3*z^0 +2.775558e-17*x^2*y^4*z^0
-1.387779e-17*x^1*y^5*z^0 -1.734723e-18*x^0*y^6*z^0
= 0.
Wortmeldung zu "Unmögliche Figuren"
09.06.2008, Bianca Violet, BerlinGeschmäcker sind bekanntlich verschieden, und so wundert es mich nicht, dass einige Bilder auf Missfallen stoßen. Besonders kritisiert wurden solche, die Herr Derksen als "Schmutzeffekte" bezeichnet. Ich habe sie in die Leserbildgalerie eingestellt (nach Einsendeschluss zum Wettbewerb), um darüber mit anderen diskutieren zu können, da ich mir tatsächlich nicht erklären kann, wie sie zustande kommen. Der Diskussionsgedanke wurde aufgegriffen, aber eine befriedigende Erklärung habe ich noch nicht gefunden. Natürlich weiß ich, dass die faszinierenden Effekte durch numerische Ungenauigkeiten erzeugt werden und dass die dadurch entstandenen Bilder keine algebraischen Flächen darstellen. Trotzdem interessiert mich, wie solche Gebilde durch das Surf-Programm genau entstehen. Ich bin gespannt auf weitere Wortmeldungen und auch auf das Augustheft mit Erklärungen der Surfer-Experten.
MfG,
Bianca Violet
Kleine Fehler
09.06.2008, Alexander Zimmermann1) Aktuelle Verschlüsselungstechniken machen sich NICHT die "Unberechenbarkeit der Primzahlen", sondern die "Unberechenbarkeit der Primzahlzerlegung" zu nutze. Wobei "Unberechenbarkeit" auch nicht ganz richtig ist, nur die zu erwartende Dauer der Berechnung ist unverhältnismäßig groß.
2) Weiterhin ist es nicht richtig, dass sich in einem zeitlich überschaubaren Rahmen nicht prüfen, ob eine Zahl mit vielen Ziffern eine Primzahl ist oder nicht. Im Gegenteil, zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, geht extrem schnell, aber die ZERLEGUNG einer (nicht Prim-) Zahl in ihre Faktoren kann sehr lange dauern.
3) In der Public-Key-Kryptograpie haben nicht NUR der Sender und Empfänger die nötigen Informationen zur Verschlüsselung. Es ist sogar so, dass die ganze Welt (public) die nötigen Informationen zur VERschlüsselung, aber NUR der Empfänger die Informationen zur ENTschlüsselung hat.
Insgesamt jedoch vielen Dank für den positiven Artikel über die Mathematikausstellung auf dem Wissenschaftsschiff.
Verschränkung in Biologischen Systemen - Homöopathie?
08.06.2008, Jörg Hildebrandt, St. Pölten, Ain ihrem Artikel zur „Verschränkung zweier Spiegel“ stieß ich auf einen Absatz der fast aus einer Herstellungsvorschrift homöopathischer Mittel stammen, und wenigstens den Sinn des „Dynamisierens, Potenzierens“ besser als bisherige Hypothesen erklären könnte: „Verschränkung…(kann man) erzeugen in dem man zwei Objekte einer gemeinsamen Kraft aussetzt und sie so in eine starke gegenseitige Abhängigkeit bringt. (Sie)…beginnen eine neue Einheit zu bilden.“ Und später: „Wenn sich die Spiegel …synchron wie asynchron bewegen, zeigen sie damit an, dass sie zu einer quantenmechanischen Einheit verschmolzen sind.“
Während die Quantenphysik versucht, Beweise für ihre Theorien im Makrokosmos zu finden, versuchen die Homöopathen eine tragfähige Theorie für die Beweise, die sie in ihrer täglichen Arbeit sehen, zu finden, da in der Medizin mitunter ausgeblendet wird, was man nicht versteht. Könnte in der Verschränkung eine Brücke liegen? Wenn bei der „Dynamisierung“ * von Arzneien deren Wirkungen mit kräftigen Schüttelschlägen auf eine Trägersubstanz übertragen werden, die dann im gesunden Probanden eine Arzneimittelwirkung (ähnlich der Vergiftung) hervorrufen können (synchron) und im möglichst ähnlich Erkrankten eine Gegenwirkung veranlassen (asynchron)? Hierbei ist der Zeitfaktor ein vergleichsweise unbedeutender, aber es handelt sich ja auch um biologische Systeme, die dem Umgebungseinfluss nicht entzogen werden können (auch wenn das bereits vom Entdecker der Homöopathie, Dr. Hahnemann (1755 – 1843) gefordert worden ist. (§252, S 2321 ))
Der Vergleich mag auf den ersten Blick weit hergeholt sein, zumal ich als Arzt keine ausreichende Quantenphysik Grundlage habe, doch bringen vielleicht gerade die absonderlichen Analogien und Beobachtungen neue Impulse. Daher wäre ich Ihnen für eine Stellungnahme dankbar.
*§ 269, Anm. 2, S 2441: „ Man hört noch täglich die homöopathischen Arznei-Potenzen bloß Verdünnungen nennen, da sie doch das Gegentheil derselben, das ist …Offenbarung der in ihrem inneren Wesen verborgen gelegenen, specifischen Arzneikräfte sind, durch Reiben und Schütteln bewirkt, wobei ein zu Hülfe genommenes unarzneiliches Verdünnungs-Medium bloß als Neben-Bedingung hinzutritt. Verdünnung allein … wird schier zu bloßem Wasser.“
1 Hahnemann S, Organon original, letzte und 6. Auflage (1842), Barthel&Barthel, Schäftlarn 1994
Mit freundlichen Grüßen,
Jörg Hildebrandt,
St. Pölten
Antwort des Autors:
Sehr geehrter Herr Hildebrandt,
vielen Dank für Ihr Interesse an meinem Artikel "Verschränkung zweier Spiegel".
Ein wesentlicher Gesichtspunkt der Quantenphysik ist es, die Dinge (zum Beispiel Lichtteilchen oder hier: die Spiegel) auf eine minimale Komplexität zu reduzieren. Dabei ist es natürlich entscheidend, ob diese Reduktion tatsächlich in die Realität umgesetzt ist.
Bei den verschränkten Spiegeln spiegelt sich diese Reduktion darin wieder, dass die Spiegelbewegung mehr oder weniger vollständig durch die Bewegung ihrer Schwerpunkte beschrieben werden können. Die Bewegung der einzelnen Atome, aus denen der Spiegel besteht, darf keine Rolle spielen.
Im Experiment müssen wir die Spiegel daher kühlen, damit es unwichtig wird, dass der Spiegel aus kleineren Einheiten, den Atomen, besteht. Die Bewegungsmöglichkeiten der Atome werden eingefroren. Wäre der Spiegel warm, so könnte man die Spiegelbewegung nur dann vollständig beschreiben, wenn man die Bewegung der einzelnen Atome kennt, aus denen der Spiegel zusammengesetzt ist. Eine Verschränkung von "zwei Spiegeln" wäre dann allerdings prinzipiell unmöglich. Man würde sich dann wieder im Bereich des Mikroskopischen befinden und könnte evtl. zwei Atome miteinander verschränken.
Ich persönlich glaube, dass alle Beobachtungen, die mit lebenden Organismen zu tun haben, wie zum Beispiel die Effekte von Medikamenten auf Menschen, nicht mit der Quantenphysik erklärt werden können. Leben beruht ja gerade auf dem Vorhandensein extrem großer Komplexität! Wenn die Physik zur Klärung beitragen kann, dann eher im Rahmen der klassischen Physik, in der Quanteneffekte keine Rolle spielen. Aber ich glaube, dass aufgrund der hohen Komplexität ein physikalischer Erklärungsansatz generell schwierig ist.
Ich hoffe, ich konnte Ihnen mit diesen Ausführungen behilflich sein.
Ist 0=0 Kunst?
08.06.2008, Martin HeiderFast jede Neuerung in der Kunst ist durch Regelverstöße entstanden.
Dazu gehört, quasi der Ansatz des Wettbewerbs, auch die mathematische Grundlegung eines Bildes: Victor Vasarely, Maurits Cornelis Escher und Piet Hein haben diese Kritik zu hören bekommen.
Mathematisch gesehen ist ein Bild mit der Grundlage 0=0 Unsinn. Diese Bedingung ist im gesamten von surfer dargestellten Raumteil erfüllt; eine Fläche dürfte nicht erkennbar sein. Dennoch gibt es offenbar zahllose Beispiele dafür, dass dennoch eine Darstellung erfolgt.
Frühe Belege dafür waren im Wettbewerbsverlauf "fasces" von H. Heinrich (und die umliegenden Bilder zum Thema Pokal) oder meine "Textilkunst". Dass dies später noch einmal die Wettbewerbsgemeinde beschäftigte, hat mich gefreut. Ich war gerade mit anderem beschäftigt.
Vor allem Funktionsgleichungen, die außer etwaigen Nullstellen (den dargestellten Flächen) nur Werte gleichen Vorzeichens liefern, zeigen das Verhalten, das die verschiedentlich dargestellten unscharfen Flächen illustrieren.
Versuchen Sie einmal folgende Fläche auf irgendeinem Rechner, aus dem surfer läuft, egal unter welchem Betriebssystem:
128*(x^2+y^2+(z-1)^2)^4-256*(x^2+y^2+(z-1)^2)^3+160*(x^2+y^2+(z-1)^2)^2-32*(x^2+y^2+(z-1)^2)+2
Verändern Sie den Zoom und die Betrachtungsrichtung. Obwohl die Fläche eindeutig definiert ist (zwei Kugeln, deren Radius den beiden positiven Nullstellen des verwendeten, um 1 verschobenen Tschebyschow-Polynoms entspricht) und einfarbig sein sollte - alle Funktionswerte sind >=0, kann surfer sich nicht zuverlässig entscheiden. Die Verschiebung in z-Richtung soll nur dafür sorgen, dass die Kugeln auch angeschnitten werden, so dass Innen- und Außenseite zugleich sichtbar werden.
Selbst wenn Sie die Zahl der Iterationen und die maximale Abweichung epsilon verändern, bleibt das Verhalten im Grundsatz bestehen, ebenso bei Veränderung des "antialiasing"-Werts.
Das ist interessant und vorerst nicht erklärlich, vor allem aber künstlerisch zu verwerten.
Vielleicht sollte also, vergleichbar den Quellenangaben zu Internetseiten, die inzwischen auch wissenschaftlich üblich sind, bei den entsprechenden Bildern die Versionsnummer von surfer sowie die genaue Konfiguration des verwendeten Computers angegeben werden, einschließlich des Betriebssystems.
Am ästhetischen oder gar künstlerischen Wert eines Bildes aber ändert all dies nichts, genauso wenig wie ich wissen müsste, welchen Verdünner Paul Klee benutzte oder wer seine Leinwand lieferte.
Insofern finde ich mathematische Kritik an Hiltrud Heinrich oder Bianca Violet verzichtbar.
Die Jury möchte ich ausdrücklich bitten, diese Bilder mit aufzunehmen. Sie verstoßen nicht gegen die Regeln des Wettbewerbs.
Doppelte Geburtstage
07.06.2008, Harald LermenDieser Satz ist hier falsch, denn bei gleicher Verteilung der Geburtstage auf die (365) Tage des Jahres ergibt sich rechnerisch die angegebene WS.
MfG
Antwort an Hiltrud Heinrich zu Unmögliche Figuren
06.06.2008, Dipl.-Ing. Norbert Derksen, KonstanzGelten diese Gesetze auch für Flugzeuge?
06.06.2008, Daniel Schiller, KölnStimmt das bei Flugzeugen wirklich? Wohl kaum! Heutige Strahlflugzeuge (Transporter, Passagierflugzeuge aller Größen, Businessjets) haben weit gestreute Massen und fliegen alle knapp unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Mach 0,8-0,9). Weder fliegen kleinere Strahlflugzeuge (Businessjets, Kampfflugzeuge) langsamer, noch fliegen große Schneller. Hier gelten viel mehr Parameter als nur die Masse, z.B. Kunden-/ Missionanforderungen, Zeit, Antriebstechnik, Kosten, Widerstand im transsonischen Bereich bzw. Nähe zur Schallgeschwindigkeit. Diese lassen sich nicht auf die Masse reduzieren, bzw. sind von ihr unabhängig. Gerade einige kleine Businessjets sind heute die schnellsten Zivilflugzeuge. Die Concorde hingegen flog mit doppelter Schallgeschwindigkeit und war bei weitem nie eines der größten Flugzeug.
Die Formel der Autoren für den Zusammenhang zwischen Körpermasse und Fluggeschwindigkeit bezieht sich auf Mittelwerte für Insekten, Vögel und Flugzeuge. Wie das Diagramm auf S. 40 unten zeigt, streuen wie die Werte für Flugzeuge auch die Werte für Vögel über einen großen Bereich.
Dr. Michael Springer
Antwort auf "Unmögliche Figuren" von Dipl.-Ing. Norbert Derksen
04.06.2008, Hiltrud Heinrich, DarmstadtIch wusste, dass meine strittige Gleichung 0=0 bedeutet (daher auch die Titel:"Unmögliche Figur"), aber die vielen verschiedenartigen Bilder, die ich mit dem anscheinend ungenau rechnenden Programm schaffen konnte, finde ich durchaus großartig und faszinierend, und der Ausdruck Pseudozufälligkeiten scheint mir nicht angebracht.
Auch ich freue mich, wenn ich ein gutes Arbeits-Ergebnis mittels eines genauen Plans erhalte (die eher mathematische Seite), künstlerische Arbeit aber lebt auch vom spontanen und überraschenden Einfall. Und ein angeblich "zufällig entstandenes hübsches Ergebnis" erfordert eine Menge gestalterischer Arbeit; mit dem Surfer könnte man nämlich auch viel "Schrott" produzieren.
Ich habe die Arbeit mit dem Surfer jedenfalls als sehr aktiv und begeisternd erlebt.
Außerdem steht in der Ausschreibung ausdrücklich: "Mathematische Vorkenntnisse sind hilfreich, aber nicht Bedingung."
Daraus könnte man ja wohl folgern, dass beim Mathekunst-Wettbewerb die Betonung entweder auf der Mathematik oder der Kunst liegen könnte. Wie hätte denn z. B. jemand wie ich (gymnasiale Mathematikkenntnisse + 2 Semester Naturwissenschaftler-Mathematik) gezielt komplizierte Figuren konstruieren sollen?
Hätten wir "Künstler" mit wenig Mathematik-Kenntnissen uns nicht beteiligen sollen?
Nein – dazu hat es viel zu viel Spaß gemacht!
Schneller als das Licht?
04.06.2008, Alexander Boulyga, WienDer Superschwimmer
04.06.2008, Harald Kirsch, Düsseldorf(Energie) oder doch eher physikalische Leistung (Arbeit pro Zeit)?
In konkreten Zahlen müsste ich circa 70 Liter Wasser auf etwa 1,7 Meter Höhe heben. Benutze ich einen Flaschenzug mit vielen Rollen und lasse mir 2 Tage Zeit, so ist die Anstrengung, also die zu erbringende physikalische Leistung, sehr klein. Vermutlich soll eher die Leistung gleichgesetzt werden. Das Hochheben sollte also in derselben Zeit passieren, wie die Fortbewegung. Da ich 50 Meter in etwa 50 Sekunden schwimmen kann, müsste ich die 70 Kilogramm Wasser in knapp 1,7 Sekunden auf 1,7 Meter Höhe heben. Mit 1 Meter pro Sekunde zu schwimmen über fast eine Stunde ist anstrengend aber möglich. Aber eine Stunde lang alle 1,7 Sekunden 70 Kilo auf Körperhöhe zu stemmen, halte ich für komplett unmöglich.
Wo ist der Denkfehler: die Autoren beschreiben ganz richtig, dass ich beim Schwimmen das Wasser anheben muss, damit es an meinem Körper vorbeilaufen kann, da es nicht kompressibel ist und daher nicht zur Seite oder nach unten "ausweichen" kann. Leider vergessen die Autoren anscheinend, dass das angehobene Wasser hinter meinem Körper wieder runterfließt. Dadurch geht die potentielle Energie, die ich durch Hochheben des Wassers hineingesteckt habe, dem Wasser verloren. Als Energiesenken kommen in Frage: Wärme durch Reibung, kinetische Energie durch Strömung. Insbesondere Letztere sorgt vermutlich für einen Saugeffekt, der die Arbeit, die ich durch Hochheben verrichte, weit gehend ausgleicht. Schwimme ich kontinuierlich, so muss ich die Arbeit des Hochhebens nur einmal beim Start verrichten, und bekomme sie nach meinem letzten Schwimmzug sogar wieder zurück.
Die Rechnung der Autoren ist eine grobe Schätzung allein schon deshalb, weil der Schwimmkörper (Fisch oder Mensch) als Würfel behandelt wird.
Ein würfelförmiger Mensch hätte aber nicht die übliche Körperhöhe, sondern wäre nur knapp 1 Meter hoch und lang. Wenn ein Mensch sich z.B. mit den Beinen vom Beckenrand abstößt, um in Wasser horizontal 1 Meter voranzukommen, entspricht dies nach dem Ansatz der Autoren ungefähr der Arbeit, die er aufwendet, um aus sitzender Position aufzustehen (Höhendifferenz ca 1 Meter). Das erscheint nicht unplausibel.
Michael Springer
Zur Ehrenrettung von k3dsurf
03.06.2008, Torolf Sauermann, HannoverSiehe auch die Seite von k3dsurf: http://k3dsurf.sourceforge.net/
Ich könnte viele schöne Modelle zeigen, die man mit k3dsurf und gleichzeitig mit Surfer erzeugen könnte.
Mir geht es aber um die Fertigung von neuen Flächen und Designformen und nicht um den mathematisch-wissenschaftlichen Aspekt ;)
Ein paar Demos mit k3dsurf :
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/jotero_iso_ball_3.jpg
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/iso_ball.jpg
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/bones_cube_jotero.jpg
http://www.evolution-of-genius.de/gallery/photos/UMARMUNG.jpg
Künstlerische Freiheit
03.06.2008, Dipl.-Ing. Norbert Derksen, KonstanzDas ist in der Tat ein Punkt, der in den Wettbewerbsbedingungen – da nicht vorgesehen – nicht vorab geklärt worden ist. Die Jury (deren Mitglied ich bin) wird darüber zu entscheiden haben; um der Entscheidung nicht ungebührlich vorzugreifen, halte ich mich mit meiner persönlichen Meinung zurück.
Christoph Pöppe
Rotationssymmetrien
03.06.2008, C. Grießmann, WächtersbachWie funktioniert diese Methode aber, wenn es sich bei dem regulären zweidimensionalen n-Eck beispielsweise um ein 9-Eck handelt (oder ein anderes Polygon, dessen Anzahl von Ecken dem Quadrat einer Primzahl entspricht)? Die Drehgruppe des Nonagons lässt sich zwar als das Produkt der Drehgruppen zweier Dreiecke beschreiben, allerdings ist mir nicht klar, wie man diese Tatsache ähnlich bildlich darstellen kann, wie es für das 15-Eck im Heft 5/08, S. 88 gezeigt ist. Funktioniert diese Methode im Fall des Nonagons und der "eingeschriebenen" Dreiecke nicht oder gibt es eine Möglichkeit, diesen Fall ähnlich anschaulich zu zeigen?
Es funktioniert auf jeden Fall nicht so schön wie bei teilerfremden Faktoren. Eine Untergruppe der Neunecksgruppe ist die Gruppe der Drehungen um Vielfache von drei Neunteln (= einem Drittel) des Vollwinkels. Das ist die Symmetriegruppe eines Dreiecks, das man ins Neuneck einbeschreiben kann.
Damit hat man einen Faktor der Zerlegung. Aber der andere Faktor! Offiziell ist es eine Gruppe von Nebenklassen. Ihre Elemente sind so etwas wie die Elemente der ursprünglichen Neunecksgruppe "modulo der Dreiecksgruppe"; das heißt, zwei Elemente, die sich nur um eine oder zwei Drittelsdrehungen unterscheiden, werden miteinander identifiziert. Natürlich hat diese Gruppe ebenfalls drei Elemente und ist damit isomorph zur Dreiecksgruppe. Aber eine anschauliche Darstellung dafür will mir nicht einfallen.
Christoph Pöppe