Der Hilbert-Raum ist an sich sehr abstrakt mathematisch definiert und fällt in das Gebiet der Funktionalanalysis. Die Funktionalanalysis ist im Wesentlichen der mathematische Unterbau der Quantentheorie. Unendlichdimensionale Räume und Operatoren erfahren hier ihre formale Definition.

zuerst der Vektorraum

Um zu verstehen, was ein Hilbert-Raum ist, muss man zunächst den Begriff Vektorraum klären. Ein Vektorraum genügt speziellen Axiomen, wie Addition und Vielfachbildung der Elemente, die im Vektorraum liegen. Dann nennt man die Menge einen Vektorraum, wenn Distributiv-, Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten und ein Nullelement sowie ein inverses Element existieren. An einem dreidimensionalen Vektor kann man sich diese Eigenschaften leicht klar machen.

Erklärung in mathematischer Sprache

Der Hilbert-Raum ist nun ein bestimmter Vektorraum, der ein Skalarprodukt besitzt. Dazu muss er unitär und vollständig sein. Ein Raum ist unitär, wenn man auf ihm eine Norm definieren kann, so dass die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung gilt. Ist der Vektorraum vollständig, aber nicht unitär, heißt er Banach-Raum.

etwas anschaulicher...

Diese Eigenschaften vermitteln nur eine abstrakt-formale Vorstellung von einem Hilbert-Raum. Um konkreter zu werden: Hilbert-Raum nennt man in der Quantentheorie denjenigen Vektorraum, der von sämtlichen Quantenzuständen der Theorie (Wellenfunktionen) aufgespannt wird. Im Allgemeinen betrachtet man nicht den kompletten Hilbert-Raum, sondern nur einen Unterraum, der gerade relevant ist für das physikalische Problem. So ist der Hilbert-Raum des Spins des Elektrons zweidimensional, also recht simpel. Das liegt daran, weil dieser Hilbert-Raum nur von zwei Quantenzustände des Elektrons aufgespannt wird: 'Spin nach oben' (spin-up) oder 'Spin nach unten' (spin-down). Andere Quantensysteme sind im Allgemeinen komplizierter und weisen mehr Quantenzustände auf. Dann wird auch der Hilbert-Raum komplexer. In der Loop-Quantengravitation beispielsweise wird der Hilbert-Raum von den Loops aufgespannt. Alternativ wurden als orthonormale Basiszustände die Spin-Netzwerke gefunden.