Lexikon der Mathematik: konvexe Fläche
eine zusammenhängende offene Teilmenge ℱ der Randfläche ∂(𝒦) eines konvexen Körpers 𝒦 ⊂ ℝ3.
Unter einem konvexen Körper versteht man eine Teilmenge von ℝ3, die zu je zweien ihrer Punkte auch deren Verbindungsstrecke enthält.
Ist ℱ die gesamte Randfläche ∂(𝒦), so heißt ℱ vollständig, ist 𝒦 überdies beschränkt, d. h., in einer Kugel des ℝ3 enthalten, so heißt ℱ geschlossen, ansonsten unendlich. Jede unendliche vollständige konvexe Fläche ist homöomorph zu einer Ebene oder zu einem Zylinder.
Jedem Punkt x ∈ ℱ ist ein Tangentialkegel Kx(ℱ) zugeordnet, der sich als Grenzlage von Flächen ℱn für n → ∞ ergibt, wobei ℱn das Bild von ℱ bei der Dehnung des ℝ3 mit dem Faktor n und dem Zentrum x ist. Nach der Form des Tangentialkegels werden die Punkte von ℱ in Klassen eingeteilt. Ein Punkt x heißt konisch, wenn Kx(ℱ) ein nicht ausgearteter Kegel ist, x heißt glatt, wenn Kx(ℱ) eine Ebene, und Gratpunkt, wenn Kx(ℱ) Durchschnitt zweier Halbräume ist.
Die größte untere Schranke aller Längen von rektifizierbaren Kurven, die zwei Punkte x und y der Fläche ℱ verbinden, heißt deren innerer Abstand d(x, y), und eine x und y verbindende rektifizier-bare Kurve α : [a, b] ⊂ ℝ → ℱ der Länge d(x, y) heißt Kurve der kürzesten Verbindung oder einfach Kürzeste. Die kürzesten Verbindungen auf konvexen Flächen haben die Eigenschaft des Nichtüberlappens: Je zwei Kürzeste haben entweder (i) keine gemeinsamen Punkte, (ii) genau einen gemeinsamen Punkt, (iii) genau zwei gemeinsame Punkte, die dann ihre Endpunkte sind, oder es ist (iv) eine der Kurven eine Teilmenge der anderen, oder sie haben (v) ein Segment gemeinsam, dessen zwei Endpunkte dann Endpunkte je einer der beiden Kürzesten sind.
Den Winkel zwischen zwei Kürzesten α und β in einem gemeinsamen Punkt P = α(a) = β(a) definiert man als den Grenzwert der Winkel zwischen den beiden Verbindungsgeraden von P mit α(t) bzw. β(t) für t → a. Wählt man eine kleine Umgebung U von P, so wird U durch die beiden Kurven α und β in zwei Sektoren S und S′ zerlegt. Den Winkel δP(S) eines solchen Sektors S in der Spitze P definiert man, indem man S zunächst durch eine endliche Folge α0 = α, α1, …, αn−1, αn = β von aufeinanderfolgenden, vom Punkt P ausgehenden Kürzesten αi in kleinere Sektoren zerlegt, und die Winkel zwischen aufeinanderfolgen Kürzesten αi addiert. Der Winkel δP(S) ist dann der obere Limes aller auf diese Weise gebildeten Summen.
Die Summe von δP(S) mit dem Winkel δP(S′) des komplementären Sektors hängt nicht von den ursprünglich gewählten Kürzesten α und β ab. Man nennt δP(ℱ) = δP(S)+δP(S′) den vollen Winkel von ℱ im Punkt P. Es gilt immer δP(ℱ) ≤ 2 π. Die innere Krümmung von ℱ in P definiert man als Differenz 2 π − δP(ℱ)
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[1] Alexandrov, A, D.: Die innere Geometrie der konvexen Flächen. Akademie-Verlag Berlin, 1955.
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