die Zahlen \begin{eqnarray}{M}_{m}={2}^{m}-1,\end{eqnarray}

wobei m eine natürliche Zahl ist.

Die Motivation zur Betrachtung dieser Zahlen stammt ursprünglich aus dem mindestens auf Pythagoras zurückgehenden Interesse an vollkommenen Zahlen (eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist):

Für eine gerade natürliche Zahl n sind äquivalent:

(i) n = 2^m(2^m −1) für eine ganze Zahl m ≥ 2, und 2^m − 1 ist eine Primzahl.

(ii) n ist eine vollkommene Zahl.

Einen Beweis der Implikation (i) ⇒ (ii) findet man in den „Elementen“ von Euklid, während die Implikation (ii) ⇒ (i) erst 1747 von Euler bewiesen wurde. Danach ist das Problem des Auffindens gerader vollkommener Zahlen äquivalent zum Auffinden Mersennescher Primzahlen \begin{eqnarray}p={M}_{m}={2}^{m}-1.\end{eqnarray}

Man zeigt recht schnell:

Ist m zusammengesetzt, so auch 2^m − 1.

Damit ist M_m höchstens dann eine Mersennesche Primzahl, wenn m bereits eine Primzahl ist. Andererseits ist für viele Primzahlen p die Mersenne-Zahl M_p zusammengesetzt. Ein allgemeines Kriterium stammt von Euler:

Sei p ≡3 mod 4 eine Primzahl. Dann gilt: q := 2p + 1 ist genau dann ein Teiler von M_p, wenn q eine Primzahl ist.

Es wurden zahlreiche Tests entwickelt, um bei einer gegebenen Primzahl p zu entscheiden, ob M_p wieder eine Primzahl ist, z. B.:

Sei (S_k)_k≥0induktiv definiert durch S₀ = 4 und \({S}_{k+1}={S}_{k}^{2}-2\)Dann gilt: \begin{eqnarray}{M}_{n}\,ist\,prim\quad \iff \quad {M}_{n}|{S}_{n-2}.\end{eqnarray}

Auf der Suche nach immer größeren Mersenneschen Primzahlen entstand seit dem 16. Jahrhundert eine Liste von „Primzahlrekorden“; seit 1978 wird fast jedes Jahr eine noch größere Mersennesche Primzahl gefunden. 1968 benutzte die Post in Urbana (Illinois, USA) einen Poststempel mit dem Aufdruck „2¹¹²¹³ − 1 is prime“.

Wie nicht anders zu erwarten, gibt es bei den Mersenne-Zahlen noch zahlreiche offene Probleme; noch unbeantwortet sind etwa die folgenden naheliegenden Fragen:

1. Gibt es unendlich viele Mersennesche Primzahlen?

2. Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Mersenne-Zahlen?

3. Ist jede Mersenne-Zahl quadratfrei?

Eine auf den ersten Blick seltsame Vermutung stammt von Bateman, Selfridge, und Wagstaff:

Sei p ≥ 3 eine Primzahl, dann sind äquivalent:

1. M_p ist eine Primzahl.

2. Die folgenden Aussagen sind entweder beide wahr oder beide falsch:

(a) (2^p + 1)/3 ist eine Primzahl,

(b) p hat die Form 2^k ± 1 oder 4^k ± 3 (für ein k ≥ 0).