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Lexikon der Physik: Darstellung einer Gruppe

Darstellung einer Gruppe, Zuordnung einer nichtsingulären linearen Abbildung in einem Vektorraum M zu jedem Element g einer Gruppe. Nach Festlegung einer Basis des Vektorraums, der auch als Darstellungsraum bezeichnet wird, ist die Darstellung einer Gruppe G dadurch definiert, daß jedem Gruppenelement gG eine nichtsinguläre Matrix D(g) in solcher Weise zugeordnet ist, daß die Multiplikationsregel der Gruppe beibehalten wird, also

gilt. Die Dimension m des Darstellungsraumes heißt Grad der Darstellung.

Die Theorie der Darstellungen von Gruppen ist, wie die Gruppentheorie allgemein, in der Physik von größter Bedeutung bei der Beschreibung von Symmetrien der betrachteten Systeme, aus denen sich oft weitreichende Schlüsse auf die Gestalt der Lösungen ziehen bzw. wichtige Erhaltungssätze ableiten lassen. Zum Beispiel folgt der Satz von der Erhaltung der Energie aus der Annahme, daß physikalische Gesetze zu jedem Zeitpunkt dieselben sein sollten, also invariant gegen die Symmetrietransformation Zeitverschiebung; und die Erhaltung der elektrischen Ladung ergibt sich aus einer Symmetrieeigenschaft der Wellenfunktionen, mit denen Elementarteilchen in der Quantenmechanik beschrieben werden. Die Gesamtheit der Symmetrietransformationen eines bestimmten Typs bilden oft eine Gruppe, deren Darstellungen die Struktur der Gruppe wiedergeben und deren Untersuchung allgemeine Aussagen bezüglich des spezifischen physikalischen Systems, das man betrachtet, erlaubt.

Hat der Raum einer Darstellung vom Grade n einen echten invarianten r-dimensionalen Unterraum V(r), 0 r n, so daß die durch D(g) abgebildeten Vektoren von V(r) wieder in V(r) liegen, so nennt man die Darstellung reduzibel; eine solche Darstellung kann in der Form



geschrieben werden. Ist auch noch A = 0, so hat man in dem zu V(r) komplementären Unterraum V(nr) eine weitere Darstellung von G. Man sagt dann, daß die Darstellung D in die beiden Darstellungen D(r)(G) und D(n – r)(G) "zerfällt", und schreibt



.

Zerfallen nun die Darstellungen D(r)(G), D(nr)(G) selbst wieder in reduzible oder irreduzible Darstellungen von G, so kann man das Verfahren fortsetzen, bis nur irreduzible Darstellungen Dk(G) übrigbleiben:



.

Man hat D damit "ausreduziert" und sagt, daß D vollständig reduzibel sei (ist

, so ist D nicht vollständig reduzibel). In diesem Fall nimmt D Diagonalgestalt an. Bei der Darstellung einer Gruppe durch unitäre Abbildungen ist jede reduzible Darstellung zugleich vollständig reduzibel.

Kennt man also alle irreduziblen Darstellungen einer Gruppe, so kann man alle vollständig reduziblen aus ihnen aufbauen. Die irreduziblen Darstellungen einer Gruppe sind also die Grundbausteine der zugehörigen Darstellungstheorie, und darin liegt ihre große Bedeutung.

Ein wichtiges Kriterium für die Irreduzibilität einer Darstellung ist das Schursche Lemma: Ist das System aller darstellenden Matrizen einer bestimmten Darstellung der betrachteten Gruppe irreduzibel, so ist jede Matrix, die mit allen diesen Matrizen vertauscht, notwendig ein Vielfaches der Einheitsmatrix.

Von zentraler Bedeutung für die Quantentheorie, insbesondere für die Eichtheorien, sind die bereits erwähnten unitären Darstellungen von Gruppen, bei denen für je zwei beliebige Vektoren ϕ, ψ des Darstellungsraums ein Skalarprodukt

definiert ist, das folgende Eigenschaft aufweist: Sind

die Bildvektoren von ϕ und ψ, wenn man diese der dem beliebigen Gruppenelement a zugeordneten linearen Transformation U(a) unterwirft, so gilt



Die Bedeutung solcher unitären Darstellungen von Gruppen für die Quantentheorie liegt darin, daß man die zugehörigen Darstellungsräume als quantentheoretische Zustandsräume interpretieren kann, in denen

und

die physikalischen Zustände beschreiben, falls das System die entsprechenden Symmetrien erfüllt.

Eine große Zahl der physikalisch relevanten Gruppen gehört zu den Lie-Gruppen, z.B. die Drehgruppe, die Lorentz-Gruppe und die für die Elementarteilchenphysik enorm wichtigen SU(N)-Gruppen, zu denen u.a. die Eichgruppe der starken Wechselwirkung SU(3) gehören. Jedes Element g einer n-dimensionalen Lie-Gruppe aus der Umgebung des Einheitselements e läßt sich in der Form



parametrisieren, wobei die li die Erzeugenden der Gruppe (auch Generatoren genannt) sind, denen durch eine Darstellung D entsprechende Erzeugenden der Darstellung Li zugeordnet werden, die eine Lie-Algebra aufspannen und die Kommutatorregeln



erfüllen, wobei die Strukturkonstanten cijk die jeweilige Lie-Algebra und damit auch die Gruppe selbst spezifizieren.

Mit Hilfe der Algebra lassen sich sämtliche Darstellungen einer Lie-Gruppe gewinnen. Ausgangspunkt bildet die Cartan-Subalgebra der Algebra. Sie besteht aus r miteinander vertauschenden Erzeugenden Hi (d.h. [Hi, Hj] = 0), die simultan diagonalisiert werden können; die entsprechenden Eigenvektoren lassen sich also durch r Eigenwerte kennzeichnen:



;

die Zahl r wird der Rang der Gruppe genannt. Die Eigenwerte können auch halbzahlig sein, man spricht dann von Spinor-Darstellungen (Lorentz-Gruppe).

Die Cartan-Subalgebra wird durch nr Elementen Eα (engl. roots) mit der Eigenschaft [Hi, Eα] = αi · Eα, d.h. Eα ist Eigenvektor von Hi mit Eigenwert αi, zu einer vollständigen Basis der ganzen Algebra, der Cartan-Basis, ergänzt. Die Eα wirken als Leiteroperatoren, d.h. sie verändern die Eigenwerte eines Eigenvektors:



Die achtdimensionale Gruppe SU(3) beispielsweise, die aus allen komplexen unitären 3 ×> 3-Matrizen U mit der Eigenschaft det U = 1 besteht, wird von den acht Gell-Mann-Matrizen λi erzeugt, von denen zwei, λ3 und λ8, diagonal sind und somit vertauschen; SU(3) hat also den Rang 2. Die Leiteroperatoren sind

.

Durch sukzessive Anwendung der Leiteroperatoren auf den Zustand mit den höchsten Eigenwerten kann man jede Darstellung konstruieren; man erhält so in systematische Weise alle möglichen Darstellungen jeder Lie-Gruppe. Eine Sonderstellung nehmen die sogenannten fundamentalen irreduziblen Darstellungen, von denen jede Lie-Gruppe r besitzt und die mit

bezeichnet werden, wobei die 1 an der i-ten Stelle steht und i von 1 bis r läuft. SU(3) hat also zwei fundamentale irreduzible Darstellungen D(1,0) und D(0,1), die auch oft als 3 und

notiert werden.

Jede Darstellung von SU(N) läßt sich durch Tensorprodukte der fundamentalen Darstellungen gewinnen. Die Elemente des Darstellungsraumes dieser Tensordarstellungen sind Tensoren mit bestimmten Symmetrieeigenschaften, die sich besonders gut im Formalismus der Young-Diagramme (engl. Young tableaus) darstellen lassen. Er erlaubt es zudem, die explizite Form der Vektoren eines Darstellungsraumes zu ermitteln und die Reduzierung von Darstellungsprodukten in irreduzible Darstellungen durchzuführen. [UK]

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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
Dr. Dietrich Einzel, Garching [DE] (A) (20)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33; Essay Optische Erscheinungen der Atmosphäre)
Dr. Christian Eurich, Bremen [CE] (A) (Essay Neuronale Netze)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Florian Herold, München [FH] (A) (20)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Georg Hoffmann, Gif-sur-Yvette, FR [GH1] (A) (29)
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Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15; Essay Quantengravitation)
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Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Dr. Uwe Klemradt, München [UK1] (A) (20, Essay Phasenübergänge und kritische Phänomene)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
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Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Jens Kreisel, Grenoble [JK2] (A) (20)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
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Dr. Rudi Michalak, Augsburg [RM1] (A) (23)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Andrea Quintel, Stuttgart [AQ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15; Essay Quantenmechanik und ihre Interpretationen)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Paul Steinhardt, Princeton, USA [PS] (A) (Essay Quasikristalle und Quasi-Elementarzellen)
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Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
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Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
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Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
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Priv.-Doz. Dr. Jörg Zegenhagen, Stuttgart [JZ3] (A) (21; Essay Oberflächenrekonstruktionen)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
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Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
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Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
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Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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