Gaußsche Ensembles

Lexikon der Physik: Gaußsche Ensembles

Gaußsche Ensembles, Gesamtheiten von Zufallsmatrizen (Zufallsmatrizen-Theorie). Die wichtigsten sind das Gaußsche orthogonale Ensemble (GOE), das Gaußsche unitäre Ensemble (GUE), sowie das Gaußsche symplektische Ensemble (GSE). Die Theorie der Zufallsmatrizen wurde ab Mitte der 50er Jahre vor allem von E.P. Wigner vorangetrieben, um die statistischen Eigenschaften der komplexen Energieniveau-Struktur von schweren Kernen zu erklären. Seit etwa 1980 fand diese Theorie im Zusammenhang mit Fragen des Quantenchaos erneutes Interesse, da klassisch chaotische Quantensysteme die einfachsten Systeme bereitstellen, die den Gesetzmäßigkeiten der Theorie der Zufallsmatrizen gehorchen. Die grundlegende Idee besteht darin, die Matrixelemente des Hamilton-Operators (Matrix H) als gaußverteilte Zufallszahlen anzunehmen und dabei nur den raum-zeitlichen Symmetrieeigenschaften des Problems Rechnung zu tragen. Das einfachste Ensemble, das GOE, besteht aus reellen, symmetrischen N × N-Matrizen und ist dadurch definiert, daß die Gesamtheit unter beliebigen orthogonalen Transformationen H′ = O^THO mit einer orthogonalen Matrix O invariant bleibt. Dies bedeutet, daß für die Wahrscheinlichkeit P(H)dH, eine Matrix

im Volumenelement

zu finden, gilt, daß P(H)dH = P(H′)dH′. Zusätzlich verlangt man, daß die Matrixelemente unabhängige Zufallsvariable sind. Daraus folgt, daß die Matrixelemente H_ij gaußverteilt sind mit Mittelwert null

und Varianz

. Von Interesse sind statistische Eigenschaften der Energieniveaus, also der Eigenwerte von H, wie z.B. die gemittelte Energieniveau-Dichte

. ρ(E)dE ist die Anzahl der Niveaus im Intervall [E, E + dE], wobei ∫ρ(E)dE = N gilt. Für das GOE und für große N findet man das Wignersche Halbkreis-Gesetz, welches besagt, daß

nur für E² 4Nσ² von null verschieden ist mit

.

Eine weitere wichtige Größe, die die Fluktuationen in den Energieniveaus erfaßt, ist die Abstandsverteilung der Niveaus p(s). p(s)ds ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in dem Ensemble (oder auch in einer genügend großen Matrix H) zwei benachbarte Niveaus einen Abstand im Intervall [s, s + ds] haben. Für das GOE erhält man für N = 2 als exaktes Resultat die sog. Wigner-Verteilung (auch Wignersche Vermutung)

mit dem mittleren Niveau-Abstand D. Das entsprechende Resultat für große N kann nicht in einfacher Form geschrieben werden, doch ist die Wigner-Verteilung auch für diese Fälle eine sehr gute Approximation. Von Interesse ist insbesondere der lineare Anstieg für kleine Abstände s, der auch für N

∞ korrekt ist. Er bedeutet, daß sich die Energieniveaus abstoßen. Dieses Verhalten wurde experimentell in Atomkernspektren, aber auch in klassisch stark chaotischen Quantensystemen, wie dem quantisierten Bunimowitsch-Stadion oder dem Sinai-Billard gefunden (Quantenchaos).

Die Beschränkung auf reelle symmetrische Matrizen im GOE ist durch Rotations- und Zeitumkehrinvarianz begründet. Wird letztere gebrochen (mit oder ohne Rotationsinvarianz), beispielsweise durch ein äußeres Magnetfeld, so muß man Ensembles hermitescher, also komplexer Matrizen betrachten, die unter unitären Transformationen invariant sind. Die Annahme statistisch unabhängiger Matrixelemente führt in diesem Fall auf das Gaußsche unitäre Ensemble (GUE). Für zeitumkehrinvariante Systeme mit halbzahligem Spin, die nicht rotationsinvariant sind, ist das Gaußsche symplektische Ensemble (GSE) maßgeblich, bei dem die die Hamilton-Matrix hermitesch ist, aber aus Quaternionen aufgebaut ist. Diese Matrixstruktur ist unter unitären symplektischen Transformationen invariant. Für GUE und GSE findet man ebenfalls Niveau-Abstoßung, wobei p(s) sich für kleine s wie s^β verhält, mit β = 2 für das GUE und β = 4 für das GSE. Die exakte Abstandsverteilung p(s) ist für die drei Gaußschen Ensembles für N = 2 in der Abbildung dargestellt. Die Niveaudichte hat in allen Fällen die Halbkreisform, mit der Ersetzung σ²

σ²β. [GR2]

Gaußsche Ensembles: Die Niveau-Abstandsverteilung für die Gaußschen Ensembles GOE (β = 1), GUE (β = 2) und GSE (β = 4).

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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Priv.-Doz. Dr. Jörg Zegenhagen, Stuttgart [JZ3] (A) (21; Essay Oberflächenrekonstruktionen)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
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Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)