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Lexikon der Physik: Oszillator

Oszillator, einfachstes schwingungsfähiges mechanisches System. Ein freier eindimensionaler harmonischer Oszillator ist ein Massepunkt der Masse m, der unter dem Einfluß einer der Auslenkung x proportionalen rücktreibenden Kraft

in einer Raumrichtung Schwingungen um eine Gleichgewichtslage x = 0 ausführt. Für kleine Auslenkungen genügt die Federkraft dieser Bedingung (Hookesches Gesetz), k heißt deshalb Federkonstante. Die Hamilton-Funktion des freien eindimensionalen harmonischen Oszillators lautet

(

: Teilchenimpuls), die daraus abgeleitete Schwingungsgleichung

mit der Kreisfrequenz

. Sie hat harmonische Funktionen als Lösungen; die allgemeinste Lösung lautet

, wobei a die Amplitude, t die Zeit und α die Phasenkonstante sind.

Bei Berücksichtigung einer der Geschwindigkeit

proportionalen Reibung

ändert sich die Schwingungsgleichung zu

mit der Dämpfung

. Ihr Verhältnis zu

beeinflußt wesentlich die Lösung:

a) Für schwache Dämpfung (

) erhält man die Lösung

mit

. Sie beschreibt einen gedämpften Schwingfall mit unbegrenzt abnehmender Amplitude; zwei aufeinanderfolgende gleichsinnige Amplituden verhalten sich wie

mit dem logarithmischen Dekrement

.

b) Bei starker Dämpfung (

) lautet die Lösung

, wobei

; sie beschreibt den Kriechfall.

c) Im aperiodischen Grenzfall (

) erreicht die Schwingung in der kürzestmöglichen Zeit ihre Ruhelage; diesen Schwingungsfall strebt man bei vielen technischen Konstruktionen (z.B. Stoßdämpfer) an.

Unterliegt der Oszillator zusätzlich dem Einfluß einer äußeren periodischen Kraft

, führt er erzwungene Schwingungen aus. Die Bewegungsgleichung lautet jetzt

. Bei schwacher Dämpfung setzt sich die Lösung

aus einer freien gedämpften Schwingung

(s.o.) und einer phasenverschobenen Schwingung

mit der Amplitude

zusammen. Die Phasenverscheibung

bestimmt sich aus

. Bei kleiner Erregungsfrequenz

schwingt der Oszillator nach einem Einschwingvorgang nahezu in Phase mit der Kraft (

). Wenn

und

allerdings nur wenig verschieden sind, kommt es zur Resonanz, d.h. der Oszillator schwingt stark mit. Bei Berücksichtigung der Dämpfung liegt das Amplitudenmaximum bei

.

Die freie Schwingung des dreidimensionalen Oszillators erfolgt in einer Ebene, der Schwingungsebene, die durch die anfängliche Erregung bestimmt ist. Die Bewegung ergibt sich als Überlagerung zweier zueinander orthogonaler harmonischer Schwingungen in dieser Ebene. Im allgemeinen Fall ergibt sich eine elliptische Bahnkurve.

Beim anisotropen Oszillator sind die Federkonstanten verschieden und damit auch die Frequenzen. Die Überlagerung zweier orthogonaler Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen führt wieder zu periodischen Bewegungen, wenn das Frequenzverhältnis rational ist. Dabei entstehen die sog. Lissajous-Figuren. Aus der Form dieser Kurven kann man auf den Wert des Frequenzverhältnisses schließen. Bei irrationalem Verhältnis der Frequenzen sind die Bewegungen bedingt periodisch; die Bahnkurve erfüllt jeweils die gesamten Kästchen.

Die genannten Schwingungstypen des Oszillators treten nicht nur an mechanischen, sondern auch an elektromagnetischen Systemen auf (Schwingkreis).

Der harmonische Oszillator ist wegen seiner einfachen mathematischen Struktur für die theoretische Physik von besonderer Bedeutung. Er ist das einfachste Modell der Quantisierung. Die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators lautet

. Die Eigenfunktionen ergeben sich zu

, wobei

mit

; die Hn sind die hermiteschen Polynome. Die möglichen Eigenwerte des Oszillators sind die diskreten Energiewerte

.

Darüber hinaus liefert der harmonische Oszillator eine Möglichkeit der Feldquantisierung. Man kann ein physikalisches Feld nach harmonischen Eigenschwingungen zerlegen, diese als harmonische Oszillatoren ansehen und entsprechend quantisieren.

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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
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Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
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Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
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Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
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Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
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