Supraleitung und Suprafluidität

Dietrich Einzel, Garching

Dieses Essay befaßt sich mit einer einheitlichen theoretischen Betrachtung der Supraleitung in Metallen und der Suprafluidität in elektrisch neutralen Fermisystemen. Es soll aufgezeigt werden, warum dieses faszinierende Phänomen auch heute noch – fast ein Jahrhundert nach seiner experimentellen Entdeckung und fast ein halbes Jahrhundert nach seiner ersten theoretischen Deutung – Gegenstand intensiver Forschung ist. Im ersten Abschnitt wird das völlig unterschiedliche Verhalten des Normalzustands dieser Systeme mit dem des Suprazustands kontrastiert und es werden einige wichtige Aspekte der historischen Entwicklung dieses Forschungsgebietes nachgezeichnet. Dann wird eine allgemeine Klassifizierung supraleitender und suprafluider Fermisysteme nach der Symmetrie ihres Grundzustands durchgeführt. Der nächste Abschnitt beschäftigt sich mit den Gleichgewichtseigenschaften dieser Systeme bei endlicher Temperatur. Schließlich wird die Frage aufgeworfen, wie die Supraleitung und die Suprafluidität auf äußere Störungen reagiert und was man daraus über die innere Struktur und die Symmetrie der supraleitenden und superfluiden Phase lernen kann. Suprafluidität in Bosonen-Systemen wird an anderer Stelle behandelt (Suprafluidität).

1 Normal- und Suprazustand

In normalen Metallen beruht der elektrische Widerstand auf der Streuung der Leitungselektronen an thermischen Gitterschwingungen (Phononen) und an Gitterfehlern (Verunreinigungen, Fehlstellen, Versetzungen, Korngrenzen, etc.), die durch eine Streurate

beschrieben wird. Die elektrische Stromdichte

relaxiert gemäß

Hier bezeichnen

die Teilchendichte,

und

die elektronische Ladung und Masse. Die treibende Kraft

ist die elektrische Feldstärke

, die sich wie üblich aus den elektromagnetischen Potentialen

und

ableiten läßt. Die elektrische Leitfähigkeit

charakterisiert den Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem Feld:

Dieser Zusammenhang ist als Drude-Gesetz (Drude-Lorenz-Theorie) bzw. als Ohmsches Gesetz bekannt. Ihr Kehrwert, der elektrische Widerstand

, ist proportional zur Impulsrelaxationsrate

. Im Grenzfall

verschwinden die Phononen, und der ausschließlich durch Defekte verursachte (Rest-) Widerstand von sehr sauberen Metallen kann sehr gering sein.

Im Jahre 1911 studierte Heike Kamerlingh Onnes in Leiden diese Effekte an Quecksilber im Temperaturbereich zwischen 1 und 5 K. Er kam zu dem überraschenden Resultat, daß der elektrische Widerstand

, anstatt stetig auf den Restwiderstandswert abzusinken, bei einer kritischen Temperatur T_c = 4,2 K verschwand. Dieses Phänomen (

,

) wird seitdem Supraleitung genannt. Die wohl beeindruckendste Konsequenz des Supraleitungsphänomens demonstrierte Kamerlingh Onnes, indem er einen Strom in einem supraleitenden Bleiring bei 4 K in Gang setzte, die Stromquelle abschaltete und einen Dauerstrom (Dauerstrom, supraleitender) über ein ganzes Jahr ohne meßbare Reduktion beobachten konnte. Kamerlingh Onnes' Entdeckung wurde im Jahre 1913 mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt.

Daß das Phänomen der Supraleitung noch mehr beinhaltet als das bloße Verschwinden des elektrischen Widerstandes unterhalb einer Sprungtemperatur

, zeigten Walther Meißner und Robert Ochsenfeld im Jahre 1933. Sie entdeckten, daß Supraleiter Magnetfelder reversibel aus ihrem Inneren verdrängen oder abschirmen, und zwar unabhängig davon, ob man den Supraleiter im Magnetfeld abkühlt (Verdrängungseffekt) oder erst unterhalb der Sprungtemperatur

ein Magnetfeld anlegt (Abschirmeffekt). Der Supraleiter verhält sich somit wie ein idealer Diamagnet. Diese Feldverdrängungseigenschaft der Supraleiter ist nach ihren Entdeckern Meißner-Ochsenfeld-Effekt benannt geworden.

Parallel zu dieser Entdeckung entwickelten die Brüder Fritz und Heinz London, aber auch Max von Laue, die phänomenologische sog. London-Laue-Theorie der Supraleitung (1935-1938), in der eine makroskopische Anzahl supraleitender Teilchen der Ladung

und der Masse

, die sich in den elektromagnetischen Potentialen

und

bewegen, durch eine kollektive quantenmechanische Wellenfunktion

mit Amplitude

und Phase

beschrieben wird. Im Gegensatz zur Interpretation der gewöhnlichen Quantenmechanik von

als Wahrscheinlichkeitsamplitude, ein Teilchen am Ort

zur Zeit

vorzufinden, wurde

mit der makroskopischen Teilchenzahldichte der supraleitenden Ladungsträger verknüpft. Ansonsten konnten alle aus der Quantenmechanik bekannten Resultate übernommen werden, insbesondere die Tatsache, daß der Schrödinger-Gleichung für

die Kontinuitätsgleichung für die Kondensat-Dichte

äquivalent ist, in der die Ladungssuprastromdichte

die Form

hat. Die einzelnen Ladungsträger verlieren somit ihre Individualität völlig, denn sie gehorchen kollektiv den Gesetzen der Quantenmechanik. Obwohl diese Theorie nichts über den Mechanismus, der zur Supraleitung führt, aussagt, betrachtet sie die Supraleitung erstmals als makroskopisches Quantenphänomen und kann Dauerströme, Magnetfeldabschirmung, charakterisiert durch die sog. Londonsche Magnetfeldeindringtiefe (Londonsche Theorie der Supraleitung)

sowie die sehr viel später entdeckte Flußquantisierung durch einen Supraleiter vorhersagen. Wegen der Eindeutigkeitsforderung

, an

ergibt sich für das (Fluß-) Integral über die Querschittsfläche

eines supraleitenden Hohlzylinders die Bedingung

in der

und

das Quantum des magnetischen Flusses darstellt. Im Jahre 1961 gelang Robert Doll und Martin Näbauer (unabhängig davon aber auch Deaver und Fairbanks) schließlich der experimentelle Beweis dafür, daß die Größe

quantisiert ist. Das experimentell bestimmte Flußquantum ließ den Schluß zu, daß beim Ladungstransport in Supraleitern nicht, wie in der London-Theorie angenommen, einzelne (

,

,

), sondern Paare von Elektronen mit der doppelten Elementarladung (

,

,

beteiligt sind.

Wie die Metallelektronen zeigen auch elektrisch neutrale Flüssigkeiten in ihrem Normalzustand das Phänomen eines Strömungswiderstands. Die Massenstromdichte

genügt der Relaxationsgleichung

in der die treibende Kraft

in der Regel ein Druckgradient ist. Im Gegensatz zur Relaxationsrate des elektrischen Stroms gilt

, da weder Phononen noch Fehlstellen existieren und Zweiteilchenstöße wegen des Fehlens von Umklappprozessen nicht zur Impulsrelaxation führen. Die Relaxation ist deshalb diffusiv und durch die Scherviskosität

(Viskosität) bestimmt. Diese vermittelt auch den Zusammenhang zwischen dem querschnittsgemittelten Massenstrom

der Flüssigkeit und dem von außen angelegten Druckgefälle, der als Hagen-Poiseuillesches Gesetz bekannt ist. Für Strömung zwischen parallelen Platten (Abstand

) gilt

Der Strömungswiderstand

ist somit proportional zur Scherviskosität der Flüssigkeit. Seine Beobachtbarkeit zu tieferen Temperaturen hin wird verdeckt durch die in fast allen Fällen eintretende Verfestigung dieser Systeme. Nur Flüssigkeiten, die aus besonders leichten Atomen (wie zum Beispiel die Isotope des Heliums ⁴He und ³He) bestehen, bleiben bis zum absoluten Temperaturnullpunkt bei Atmosphärendruck flüssig. Man nennt diese Systeme Quantenflüssigkeiten, da ihr flüssiger Zustand durch die quantenmechanischen Nullpunktsbewegungen hervorgerufen wird.

Im Jahre 1971 entdeckten David Lee, Douglas Osheroff und Robert Richardson bei einer Sprungtemperatur

von etwa zwei Tausendstel K den Übergang von flüssigem ³He in zwei superfluide Phasen. Obwohl im Gegensatz zur Impulsrelaxation die Scherviskosität scheinbar verschwindet, wies ihr Verhalten sehr viele Analogien zur Supraleitfähigkeit der ›Elektronenflüssigkeit‹ in Metallen auf, zeigte zusätzlich aber eine Vielzahl neuer und exotischer Eigenschaften. Diese Entdeckung löste eine wahre Flut von experimentellen und theoretischen Veröffentlichungen aus, die über mehr als zwei Dekaden anhielt und schließlich im Jahr 1996 mit dem Physik-Nobelpreis für die drei Entdecker ihre Würdigung fand.

Auch für neutrale suprafluide Fermi-Systeme mit Teilchen der Masse

und der superfluiden Dichte

läßt sich die London-Theorie anwenden. Wegen der fehlenden Ladung ist der supraleitende Massenstrom jetzt allein mit der räumlichen Änderung der Phase der Kondensat-Wellenfunktion verknüpft:

Die wesentliche Gemeinsamkeit der Phänomene Supraleitung und Suprafluidität läßt sich nur mit den Denkmethoden der Quantenmechanik verstehen. Sie besteht darin, daß es sich bei Elektronen und ³He-Atomen, welche Vielteilchensysteme von typischerweise 10²³ Teilchen bilden, um Fermionen handelt, d.h. Teilchen mit einem halbzahligen Spin. Fermionen gehorchen dem Pauli-Prinzip, welches besagt, daß nur ein Fermion einen gegebenen Quantenzustand

, charakterisiert durch den Impuls

und die Spinprojektion

, besetzen kann. (Bei flüssigem ⁴He handelt es sich um ein Bosonen-System.)

Ein moderner Zugang zu den Phänomenen Supraleitung (geladene Fermionen, Elektronen) und Suprafluidität (neutrale Fermionen) sollte diese auf ein und derselben Stufe behandeln. Ein erster Schritt in diese Richtung ließ sehr lange, nämlich bis zum Jahre 1957, auf sich warten. In diesem Jahr veröffentlichten die Theoretiker John Bardeen, Leon Cooper und Robert Schrieffer (BCS) ihre mikroskopische Theorie der Supraleitung, nicht ahnend, daß sich diese Theorie, nach einigen nicht unwesentlichen Modifikationen, die insbesondere dem Theoretiker Anthony J. Leggett zu verdanken sind, auch zur Beschreibung der Suprafluidität von flüssigem ³He eignen würde. Wegen ihrer universellen Anwendbarkeit wurde die BCS-Theorie im Jahre 1972 mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt.

2 Klassifizierung paarkorrelierter Fermi-Systeme

Fermi-Systeme lassen sich durch ihre Teilchendichte

, mit

der Fermi-Energie, das Energiespektrum

, mit

dem chemischen Potential (

), die Gruppengeschwindigkeit

und die Zustandsdichte an der Fermi-Kante

charakterisieren. Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht wird die mittlere Besetzungswahrscheinlichkeit dieser Zustände durch die Impulsverteilung

beschrieben. Hier bedeuten

und

die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Fermion im Quantenzustand

und

der statistische Mittelwert. Im Normalzustand des Fermi-Systems ist

die Fermi-Dirac-Verteilung (Fermi-Dirac-Statistik).

Das BCS-Modell postuliert, daß es bei tiefen Temperaturen energetisch günstiger ist, wenn sich ein temperaturabhängiger Teil der Fermionen zu sog. Cooper-Paaren formiert. Der geniale Aspekt an der Paarungshypothese ist die Einsicht, daß die Paarung nicht im Orts- sondern im Impulsraum stattfindet. So ist die zentrale Annahme der BCS-Theorie die spontane Paarformation im

-Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischen Gleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die Paaramplitude

Hier ist

der Relativimpuls des Paares. Das Pauli-Prinzip erzwingt die totale Antisymmetrie von

beim Vertauschen der Spins

,

und der Impulse

,

:

Die Spinabhängigkeit der Paaramplitude wird durch die Möglichkeiten, zwei Spins vom Betrag

und mit den Projektionen

zum Gesamtspin

und der Gesamtprojektion

zu koppeln, festgelegt. Der Clebsch-Gordon-Koeffizient für diese Kopplung lautet

und läßt nur die beiden Fälle

(Singulett-Paarung) und

(Triplett-Paarung) zu. Für Singulett-Paarung gilt

wobei

. Hier ist

eine der Pauli-Matrizen, die zusammen mit der Einheitsmatrix

ein vollständiges Basissystem von

-Matrizen bilden.

Wegen Gl. (7) muß

für Singulett-Paarung gerade Parität bezüglich

haben,

. Die

-Abhängigkeit von

läßt sich mit einer orbitalen Quantenzahl

klassifizieren, und man spricht von s-Wellen-Paarung (

), d-Wellen-Paarung (

) usw. Im Fall der Spin-Triplett-Paarung hat man

Die Triplett-Komponenten

,

, und

des Paaramplituden-Vektors

sind den magnetischen Quantenzahlen

zugeordnet und haben wegen (7) ungerade Parität bezüglich

,

. Im Fall der Triplett-Paarung ist die orbitale Quantenzahl

ungerade und man spricht von p-Wellen-Paarung (

), f-Wellen-Paarung (

) u.s.w. Man erkennt, daß mit dem supraleitenden Phasenübergang eine spontan gebrochene Symmetrie verknüpft ist, nämlich die bezüglich der lokalen Eichtransformation

, bei der die Paaramplitude

in

übergeht (spontane Symmetriebrechung). Die Formation von Cooper-Paaren wird durch eine in der Nähe der Fermi-Kante anziehende Wechselwirkung

vermittelt, welche die mittleren Paaramplituden

und

mit einer neuen Energieskala, dem mittleren sog. Paarpotential verknüpft:

Die skalaren und vektoriellen Paaramplituden

,

, oder äquivalent dazu, die Paarpotentiale

und

, werden auch als Ordnungsparameter (Phasenübergänge) der supraleitenden oder superfluiden Phase des paarkorrelierten Fermi-Systems bezeichnet. Die Cooper-Paare, deren Gesamtheit man auch als Kondensat bezeichnet, bilden nun den neuartigen kollektiven Zustand makroskopischer Quantenkohärenz, der bereits in der London-Theorie antizipiert worden ist. Durch die Paarungshypothese liefert die BCS-Leggett-Theorie im Gegensatz zur London-Theorie nicht nur den korrekten Wert für das im Doll-Näbauer-Experiment bestimmte Flußquantum, sondern erlaubt auch eine korrekte Beschreibung der thermodynamischen, elektromagnetischen, hydrodynamischen und spindynamischen Eigenschaften supraleitender und superfluider Fermi-Systeme.

Im folgenden sollen nun einige der in der Natur vorkommenden paarkorrelierten Fermi-Systeme durch die Form ihrer Paarpotentiale charakterisiert werden. Hierzu zerlegen wir

in den temperaturabhängigen Maximalwert

und einen

-abhängigen orbitalen Anteil, der die Möglichkeit einer Anisotropie auf der Fermi-Fläche enthält. Man kann in unterschiedlichen Fermi-Systemen die Symmetrie des Paarpotentials mit der der Fermi-Fläche bzw. der Bandstruktur vergleichen. Sind diese Symmetrien gleich (oder ist nur die Eichsymmetrie spontan gebrochen), so wird die Paarung als konventionell (k) bezeichnet. Ist die Symmetrie des Paarpotentials geringer als die der Fermi-Fläche (oder gibt es neben der Eichsymmetrie noch zusätzliche spontan gebrochene Symmetrien), so nennt man die Paarung unkonventionell (u).

In die siebziger und achtziger Jahre fiel die Entdeckung neuer, exotischer Supraleiter. Dazu gehören organische Supraleiter und Supraleiter mit sog. schweren Fermionen. Im Jahre 1986 wurden Materialien auf Kupferoxidbasis (Kuprate) mit Sprungtemperaturen bis zu 153 K (sog. Hochtemperatur-Supraleiter) durch Karl Alex Müller und Georg Bednorz entdeckt, die dafür im Jahr darauf mit dem Nobelpreis für Physik geehrt wurden. Man ist heute davon überzeugt, daß die superfluiden Phasen des ³He, u.a. der Schwerfermionsupraleiter UPt₃, sowie alle lochdotierten (ld) Kuprat-Supraleiter einen unkonventionellen Ordnungsparameter haben. Unerwarteterweise zeigen die elektrondotierten (ed) Kuprate scheinbar konventionelles Verhalten. Eine spezielle Konsequenz dieser Unkonventionalität ist die Tatsache, daß der Ordnungsparameter Nulldurchgänge oder Noden haben kann, d.h. er kann auf der Fermi-Fläche Punkt- (P) oder Linien- (L) förmige Nullstellen haben. Dieser Sachverhalt ist in Abb. 1 veranschaulicht. In Tab. 1 sind die Eigenschaften einiger wichtiger supraleitender (SL) und superfluider Fermi-Systeme zusammengestellt. Die Fermi-Flächen werden der Einfachheit halber als sphärisch (D = 3) oder als zylindrisch (D = 2) angenommen. Aufgeführt sind Ordnungsparametersymmetrie, Nodenstruktur und die Dimensionalität D ihrer Fermi-Fläche.

In Tab. 1 ist

der (Polar-) Winkel zwischen einer für den Paarzustand charakteristischen makroskopischen orbitalen Vorzugsrichtung

und dem Einheitsvektor

auf der Fermi-Fläche. Für den Fall der Triplett-Paarung ist

eine makroskopische Vorzugsrichtung im Spinraum.

ist eine Rotationsmatrix, welche im Spezialfall des pseudoisotropen Zustands die Korrelation zwischen Spin- und Bahnfreiheitsgraden der Cooper-Paare beschreibt. Der Winkel

spielt dabei die gleiche Rolle wie der Winkel zwischen

und

und reflektiert eine von Leggett erstmals diskutierte zusätzliche spontan gebrochene Symmetrie, nämlich die relative Spin-Bahn-Symmetrie des superfluiden Fermi-Systems (und damit den unkonventionellen Charakter des Ordnungsparameters). Da es sich bei den Kupraten um Quasi-2-

-Systeme handelt, wird die

-Symmetrie des Paarpotentials durch den (Azimuth-) Winkel

beschrieben.

3 Paarkorrelierte Fermi-Systeme im thermischen Gleichgewicht

In der BCS-Behandlung werden die Paarwechselwirkungseffekte durch einen Hamilton-Operator in Molekularfeldnäherung erfaßt. Die folgende Diskussion wird nun der Übersichtlichkeit wegen auf den Fall der Singulett-Paarung beschränkt. Die Resultate lassen sich jedoch problemlos auf den Triplett-Fall verallgemeinern. Kombiniert man fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu einer zweikomponentigen Größe, einem sog. Spinor

, dann ist dieser Hamilton-Operator formal dem des Normalzustands äquivalent (Nambu-Formalismus),

Hier ist

jedoch eine Energiematrix

in deren Diagonale die typischen Energien für teilchenartige (

) und lochartige (

) Anregungen stehen. Das mittlere Paarpotential bildet die Nebendiagonalelemente und führt zu einer Mischung von Teilchen- und Lochbeiträgen zur Energie. Wegen der spontanen Paarformation

für

spricht man im Zusammenhang mit dem Phänomen der Supraleitung und der Suprafluidität auch von nebendiagonaler langreichweitiger Ordnung.

Der Hamilton-Operator bzw. die Energiematrix werden diagonalisiert durch die Bogoljubow-Walatin-Transformation

Da die neuen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wieder fermionische Anregungen beschreiben, gilt

. Man erhält

Die Bedingung

legt die Amplituden

und

fest:

,

wobei

Die physikalische Bedeutung von

erkennt man aus der Form des transformierten Hamilton-Operators

Der erste Term in (11) ist die Gesamtenergie des BCS-Grundzustands, während der zweite Term den Beitrag der thermischen Anregungen, der sog. Bogoljubow-Quasiteilchen bei endlichen Temperaturen beschreibt.

ist somit das Energiespektrum der Bogoljubow-Quasiteilchen. Das Paarpotential

spielt damit die Rolle einer im allgemeinen anisotropen Energielücke im Spektrum der thermischen Anregungen. Die thermischen Eigenschaften der Bogoljubow-Quasiteilchen werden durch die Verteilungsfunktion

und ihre Ableitung nach

,

beschrieben. Im globalen thermodynamischen Gleichgewicht ergibt sich die diagonale Verteilungsfunktion

(vgl. (5)) nach der Bogoljubow-Walatin-Transformation zu

Es ist bemerkenswert, daß die Ableitung von

,

, bei allen Temperaturen

der Summenregel

genügt.

Die Gleichgewichts-Paaramplitude (vgl. (7)) lautet nach der Bogoljubow-Walatin-Transformation

Die Ursachen und Mechanismen für die Paaranziehung

sind unterschiedlich. Bei konventionellen Supraleitern vermitteln meistens die Quanten der Gitterschwingungen, die Phononen, eine Paaranziehung zwischen den Elektronen. In einigen Klassen unkonventioneller Supraleiter (Schwerfermion-, Hochtemperatur-Supraleiter sowie die superfluide Fermi-Flüssigkeit ³He) glaubt man heute, daß antiferromagnetische bzw. ferromagnetische sog. Spinfluktuationen oder Paramagnonen die Paaranziehung verursachen. Wir müssen an dieser Stelle auf eine Diskusion der mikroskopischen Ursachen für die Paarattraktion verzichten und nehmen lediglich an, daß die Paarwechselwirkung sehr klein (

) – wegen dieser Annahme spricht man im Zusammenhang mit Supraleitung und Suprafluidität auch vom Limes schwacher Kopplung – und in einer Energieschale der Dicke

um die Fermi-Energie anziehend ist. Die Lösung der Energielückengleichung (8) bei endlichen Temperaturen geschieht durch Einsetzen der Paaramplitude (14) in Gl. (8) und liefert bei der Sprungtemperatur und bei

die beiden im Limes schwacher Kopplung universellen sog. BCS-Mühlschlegel-Parameter, nämlich den für die Molekularfeldnäherung typischen Sprung in der spezifischen Wärme bei

und die Energielücke bei

:

Hier ist

die Eulersche Konstante,

die Riemannsche

-Funktion;

bedeutet eine Mittelung über die Fermi-Fläche und

ist die Wärmekapazität des normalen Fermi-Systems. In Tabelle 2 findet man eine Zusammenstellung von BCS-Mühlschlegel-Parametern für einige repräsentative paarkorrelierte Fermi-Systeme. Für Temperaturen

läßt sich die maximale Energielücke wie folgt interpolieren:

4 Paarkorrelierte Fermi-Systeme in äußeren Feldern

Schließlich untersuchen wir, wie supraleitende und superfluide Fermi-Systeme auf die Gegenwart räumlich und zeitlich schwach veränderlicher äußerer Störungen wie ein Vektorpotential

, ein Magnetfeld

oder eine lokale Temperaturänderung

bei beliebigen Temperaturen

reagieren. Eine solche Situation läßt sich besonders einfach durch die Annahme des sog. lokalen Gleichgewichts beschreiben. Das bedeutet, daß die Impulsverteilung

der Bogoljubow-Quasiteilchen auch in Gegenwart der Störungen noch eine Fermi-Funktion

ist,

in der aber das Argument von

nach

verschoben ist, wobei

und

das gyromagnetische Verhältnis der Fermionen ist. Die lokale lineare Antwort (linear response) des gesamten Quasiteilchensystems führt bei einer Temperaturänderung

auf die Entropieänderung

, beim Anlegen eines Magnetfeldes

auf die Spinmagnetisierung

und bei Anwesenheit des Vektorpotentials

auf den elektronischen Quasiteilchenstrom

. Die entsprechenden sog. Responsefunktionen sind die Wärmekapazität

, die Paulische Spinsuszeptibilität

und der Stromresponse-Tensor

. Im folgenden fassen wir die Resultate für diese Größen bei beliebigen Temperaturen zusammen (bei den numerischen Rechnungen wurde die Interpolationsformel (15) für

verwendet):

1. Wärmekapazität der Bogoljubow-Quasiteilchen:

2. Spinsuszeptibilität der Bogoljubow-Quasiteilchen:

Hier ist

die Paulische Spinsuszeptibilität des Normalzustands. Die Temperaturabhängigkeit der Spinsuszeptibilität wird durch die dimensionslose sog. Yosida-Funktion

beschrieben. Abb. 3 zeigt die Temperaturabhängigkeit der normierten Spinsuszeptibilität

für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme. Die Resultate für den

– und

-Zustand liegen sehr nahe an der Kurve für

-Paarung und sind daher nicht eingezeichnet. Besonders deutlich wird der Unterschied zwischen dem thermisch aktivierten konventionellen Verhalten und dem linearen Tieftemperaturpotenzgesetz für die Energielücken mit Liniennoden. Bei der Berechnung der Spinsuszeptibilität in Systemen mit Spin-Triplett-Paarung ist zu beachten, daß sich die

-Komponenten des Tripletts paramagnetisch verhalten, d.h. sie tragen einen konstanten (Pauli-) Beitrag zur Suszeptibilität bei. Die

-Komponente repräsentiert den Beitrag der thermischen Anregungen und verschwindet im Limes

. So stellt die temperaturabhängige Größe

im Fall von ³He-B nur den

-Beitrag (

) des Spin-Tripletts dar. Mit den fehlenden

-Beiträgen (

) lautet die gesamte Spinsuszeptibilität von ³He-B

, wenn Wechselwirkungseffekte vernachlässigt werden. Der axiale Zustand zur Beschreibung von ³He-A besitzt im einfachsten Fall (

) nur die paramagnetischen

-Komponenten des Spin-Tripletts (man spricht deshalb auch von ›equal spin pairing‹). Daher behält die Spinsuszeptibilität bei allen Temperaturen

ihren Normalzustands-(Pauli-)Wert. Für den

-Zustand gilt im einfachsten Fall

. Somit trägt nur die

-Komponente des Tripletts zur Spinsuszeptibilität bei,

.

3. Stromresponse der Bogoljubow-Quasiteilchen

Die Größe

beschreibt den Quasiteilchenbeitrag zum gesamten elektronischen Suprastrom

, in dem

und

der diamagnetische Anteil des Stroms ist. Man beachte, daß das Vektorpotential durch einen Phasengradienten ergänzt worden ist (Eichtransformation des Vektorpotentials

), um dem Resultat für den Suprastrom eine eichinvariante Form zu geben. Die Ersetzung

verknüpft

mit der Variablen

, welche die gebrochene Eichsymmetrie beschreibt. Somit sind die eichinvarianten Ausdrücke für den elektronischen Suprastrom

und den superfluiden Massenstrom aus der BCS-Theorie

formal identisch mit den entsprechenden Resultaten (2) und (4) der London-Theorie, mit dem einzigen Unterschied, daß man die Größe

im Rahmen der BCS-Theorie berechnen kann.

Für den Fall einer (uniaxialen) Anisotropie (Achse

) der Fermi-Fläche (

, mit

,

,

den Kristallachsen) oder der Energielücke (

) gilt

. Der London-BCS-Strom, in die Maxwell-Gleichung

eingesetzt, beschreibt die Magnetfeldabschirmung des Supraleiters, charakterisiert durch die beiden London-BCS-Eindringtiefen

. Für isotrope Fermi-Systeme ist

mit der superfluiden Dichte

. In Abb. 4 ist die Temperaturabhängigkeit der normierten Magnetfeldeindringtiefe

für einige Supraleiter gezeigt. Der Unterschied zwischen dem thermisch aktivierten Tieftemperaturverhalten für isotrope Paarung und den linearen Tieftemperaturpotenzgesetzen für den Fall der Dominanz von Liniennoden ist auch in dieser Größe deutlich. Man beachte, daß die

– im Gegensatz zur

-Energielücke eine starke Anisotropie in den

-Komponenten aufweist. Dies könnte für die Identifikation der Ordnungsparametersymmetrie in UPt₃ nützlich sein.

Das Tieftemperaturverhalten der lokalen Responsefunktionen für isotrope Energielücken ist thermisch aktiviert,

und damit qualitativ unterschiedlich von dem für Energielücken mit Nodenstruktur. Im letzteren Fall existieren thermische Anregungen, in Abb. 1 durch kleine Kreise symbolisiert, bei tiefen Temperaturen

besonders in der Umgebung der Noden, was zu den in Abbildungen 2-4 sichtbaren Potenzgesetzen für die Responsefunktionen führt. In Tabelle 3 sind analytische Resultate für das Tieftemperaturverhalten der drei oben abgeleiteten Responsefunktionen für einige supraleitende und superfluide Systeme zusammengestellt.

Experimentelle Resultate sind im Fall der superfluiden Phasen des ³He, lochdotierter Kuprate und des Schwerfermionsupraleiters UPt₃ im Einklang mit der Annahme unkonventioneller Cooper-Paarung. Während die Annahme von p-Wellen-Triplett-Paarung in ³He-A und -B zu einem weitgehend quantitativen Verständnis von Thermodynamik, Transport, Spindynamik und der kollektiven Moden geführt hat, lassen sich die lochdotierten Kuprate, zumindest bei optimaler Dotierung, qualitativ auf der Basis von Singulett-

-Paarung verstehen. Eine mögliche Dotierungsabhängigkeit der Paarsymmetrie ist Gegenstand von gegenwärtigen Untersuchungen. Die Identifikation der Symmetrie des Ordnungsparameters in UPt₃ ist noch nicht endgültig gesichert, jedoch sind die

– und

– Zustände ernstzunehmende Kandidaten.

Zusammenfassend sei festgestellt, daß man die Eigenschaften einer großen Klasse paarkorrelierter Fermi-Systeme im Gleichgewicht und in Gegenwart äußerer Felder im Rahmen einer erweiterten BCS-Theorie schwacher Kopplung verstehen kann. Das Postulat der Paarformation stellt hierbei den entscheidenden Aspekt der BCS-Theorie dar, unter dem sich die Phänomene der Supraleitung und der Suprafluidität vereinheitlichen lassen, wenn auch der Mechanismus, der zur Bildung der Cooper-Paare führt, in den verschiedenen Klassen supraleitender Systeme unterschiedlich sein kann.

Literatur:

M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, McGraw Hill, 1996;

J. R. Waldram, Superconductivity of Metals and Cuprates, IOP Publishing Ltd, 1996;

J. B. Ketterson und S.N. Song, Superconductivity, Cambridge University Press, 1999;

P.G. deGennes, Superconductivity in Metals and Alloys, Perseus Books, 1999;

D. Vollhardt und P. Wölfle, The Superfluid Phases of Helium 3, Taylor & Francis, 1990;

T. Tsuneto, Superconductivity and Superfluidity, Cambridge University Press, 1998.

Supraleitung und Suprafluidität 1: Ordnungsparameter einiger Fermi-Systeme.

System Paarung Anisotropie Bezeichnung Noden
Klass. SL		k		isotrop	3	–
3He-A		u		axial	3	P
3He-B		u		pseudoisotrop	3	–
UPt3		u			3	P+L
		u			3	P+L
Kuprat-SL (l-d)		u			2	L
Kuprat-SL (e-d)		(?)		(?)	2	–

Supraleitung und Suprafluidität 2: BCS-Mühlschlegel-Parameter einiger Fermisysteme.

isotrop axial
	1,426	1,188	0,998	0,971	0,951
	1,764	2,029	2,112	2,128	2,140

Supraleitung und Suprafluidität 3: Tieftemperaturverhalten einiger paarkorrelierter Fermi-Systeme.

Größe isotrop axial
					–

Supraleitung und Suprafluidität 1: Skizze einer Node im Paarpotential. Die offenen Kreise symbolisieren thermische Anregungen (Bogoljubow-Quasiteilchen) für den Fall

.

Supraleitung und Suprafluidität 2: Temperaturabhängigkeit der normierten Quasiteilchen-Wärmekapazität

für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme.

Supraleitung und Suprafluidität 3: Temperaturabhängigkeit der normierten Spinsuszeptibilität

für einige paarkorrelierte Fermi-Systeme.

Supraleitung und Suprafluidität 4: Temperaturabhängigkeit der normierten London-BCS-Magnetfeldeindringtiefe

für einige typische Supraleiter.