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Lexikon der Physik: Transfermatrix

Transfermatrix, Matrix, die sich zu vielen Gittermodellen in der statistischen Mechanik so konstruieren läßt, daß die freie Energie des Systems durch den höchsten Eigenwert dieser Matrix gegeben ist. Allgemeiner läßt sich die Zustandssumme des Modells auf einem endlichen Gitter (Länge L) mit periodischen Randbedingungen als Spur der L-ten Potenz dieser Transfermatrix schreiben. Über die Transfermatrix sind auch d-dimensionale klassische Gittermodelle mit (d – 1)-dimensionalen Quantenmodellen (Quantenspinketten) verknüpft. Viele statistische Modelle, darunter das Ising-Modell, das Sechs-Vertex-Modell und das Acht-Vertex-Modell, wurden ursprünglich mit Hilfe der Transfermatrix gelöst. Die Beziehung zwischen der Transfermatrix eines Gittermodells und seiner Zustandssumme ist vergleichbar mit der Beziehung zwischen dem Hamilton-Formalismus einer Quantentheorie und dem Funktionalintegral zu dieser Theorie.

Anhand eines einfachen Spin-Modells mit der Energie

sei die Idee des Transfermatrixformalismus erläutert. Das d-dimensionale Gitter

wird zunächst in ›Schichten‹ von (d – 1)-dimensionalen Untergittern

zerlegt, so daß

. Sei H der Vektorraum der komplexwertigen Funktionen von den Spinkonfigurationen auf dem Gitter

. (H entspricht dem Hilbert-Raum der Quantenmechanik, d.h. dem Raum der komplexwertigen Funktionen über den Konfigurationen von Teilchen. Auf die Definition des Skalarprodukts und die Einschränkung auf normierbare Funktionen soll hier nicht eingegangen werden.) Eine Basis dieses Vektorraums ist durch

gegeben, wobei

die Gitterpunkte von

durchnumeriert und {sn} alle möglichen Konfiguration der Spins auf diesem Untergitter durchläuft. Die Transfermatrix ist eine lineare Abbildung auf H und wird zwei benachbarten Schichten mit Konfigurationen {sn} und

zugeordnet. Sie ist definiert durch ihre Matrixelemente in der oben angegebenen Basis von H und entspricht im wesentlichen dem Beitrag dieser beiden Schichten zum Boltzmann-Faktor:



Für die Zustandssumme läßt sich dann leicht zeigen



und im thermodynamischen Grenzfall



folgt für die freie Energiedichte



wobei λmax der maximale Eigenwert der Transfermatrix ist. Über

(mit einer geeignet zu wählenden Gitterkonstanten a) läßt sich eine Matrix H definieren, die als Hamilton-Operator des zugehörigen (d – 1)-dimensionalen Quantensystems aufgefaßt werden kann.

Der Transfermatrixformalismus ersetzt somit ein kombinatorisches Problem – die Berechnung einer Zustandssumme – durch ein algebraisches Problem – die Berechnung eines Eigenwerts. Auch wenn für zwei- und mehrdimensionale Gittermodelle die Größe der Transfermatrix exponentiell mit der Anzahl der Gitterpunkte des (d – 1)-dimensionalen Untergitters anwächst, helfen oftmals Symmetrien des Systems bei der Diagonalisierung der Matrix.

Copyright 1998 Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
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Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
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Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
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Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
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Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
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Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
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Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
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Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
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Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
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Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
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Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
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Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
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