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Lexikon der Physik: Trigonometrie

Trigonometrie, die mathematische Disziplin, die sich mit den Beziehungen von Winkeln und Seiten in ebenen und sphärischen Dreiecken beschäftigt. Der Hauptgegenstand der Trigonometrie sind die Winkelfunktionen (Kreisfunktionen) Cosecans, Cosinus, Secans, Sinus, Tangens und Cotangens, die ihre elementare Definition im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen 0°und 90° erfahren und dann im Einheitskreis schließlich für beliebige Winkel definiert werden. Seien die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit

und die beiden Katheten mit

und

bezeichnet; letzteren gegenüber mögen die Winkel

und

liegen (siehe Abb. 1). Die elementaren Definitionen im rechtwinkligen Dreieck lauten dann:



Die übrigen Winkelfunktionen ergeben sich zu



Aus der entsprechenden Verallgemeinerung, bei der das rechtwinklige Dreieck in einem Einheitskreis plaziert wird (siehe Abb. 2), folgen die Vorzeichen für

,

und

in den einzelnen Quadranten,



sowie der Beweis, daß die Winkelfunktionen 2π-periodische,

und

sogar π-periodische Funktionen sind; es gilt

und

sowie

und

. Desweiteren folgen aus der Definition von

und

im rechtwinkligen Dreieck und den Vorzeichen im Einheitskreis die Wertebereiche

und

. Für spezielle Winkel lassen sich die Werte der Winkelfunktionen aus der Tabelle ablesen. Algebraisch lassen sich

und

auch mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktionen in der Form



definieren. Damit, oder auch elementargeometrisch, lassen sich eine Vielzahl nützlicher Beziehungen und Additionstheoreme zwischen den Winkelfunktionen beweisen (siehe Nachsatz Band 3).

Im allgemeinen ebenen Dreieck sind der Sinussatz



und der Cosinussatz



von Bedeutung. Die Trigonometrie spielt eine wichtige Rolle in vielen geometrischen, auf Dreiecksberechnungen basierenden Problemen, z.B. in der Landvermessung. In Physik und Technik treten die Winkelfunktionen häufig im Zusammenhang mit der elementaren Vektorrechnung auf. In der Astronomie wird insbesondere die sphärische Trigonometrie -hier gelten entsprechende Varianten von Cosinussatz und Sinussatz im Kugeldreieck – gebraucht.

Trigonometrie: Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen.

sin cos tan
0° 0 1 0
30°





45°



1
60°





90° 1 0



Trigonometrie 1: Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck.



Trigonometrie 2: Konstruktion der Winkelfunktionen am Einheitskreis.



Trigonometrie 3: Graphen der Winkelfunktionen. a) Sinus, b) Cosinus, c) Tangens, d) Cotangens, e) Secans, f) Cosecans.

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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
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Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
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Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
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Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
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