Auf den unvorbereiteten Besucher hätte der Weltkongreß des Plenums Umfeld Mathematik und Philosophie (PLUMP) wahrscheinlich wie absurdes Theater gewirkt. Eine elegant gekleidete Mittsechzigerin diskutierte heftig gestikulierend mit einem blassen, pickeligen Typ mit Springerstiefeln und langen, fettigen Haaren. Eine magere Frau mit Punk-Frisur trug ein T-Shirt mit der Aufschrift "Betrachte diesen Raum". Eine übererregte Fuzzologin erläuterte geschäftig ihre flexible Erweiterung der konventionellen Logik; aber ihre Gesprächspartner, drei skeptische Konstruktivisten, hätten die Theorie gerne etwas starrer gehabt. In der Ecke hämmerte ein sehr entrückt wirkender Mensch wie besessen auf die Tasten seines Laptops ein.

Mit einem Blick sah ich: Hier war ich richtig, und die Reise hatte sich gelohnt. Ich sprach die Punkerin mit dem T-Shirt an: "Ich betrachte ihn."

"Hä?"

",Diesen Raum'. Ich sehe nichts Unerwartetes."

Luise, so hieß sie, argwöhnte eine unfeine Anspielung und sah mich mißtrauisch an. "Es geht um die Formel – wenn sie überhaupt je gefunden wird."

"Die Formel?"

"Ich glaube nicht mehr an einen schnellen Durchbruch, seit diese Schwachköpfe im amerikanischen Kongreß den Supraleitenden Super-Collider gestoppt haben."

"Ach, die Weltformel", sagte ich. "Die Theorien über Alles." Sie war offensichtlich Fundamentalistin; das hätte ich ahnen können.

"Spotten Sie nur", sagte sie. Ich schüttelte heftig den Kopf, und sie fuhr fort: "Ich glaube einfach, daß alles im Universum von einem fundamentalen Gesetz beherrscht wird und daß das wichtigste Ziel der Wissenschaft sein sollte, dieses Gesetz zu finden."

"Ja, aber wenn es überhaupt existiert, warum sollte es dann ein mathematisches Gesetz sein?" fragte der pickelige Knabe.

"Schon das Wort Gesetz impliziert eine Präzision, die nur in der Mathematik zu finden ist", entgegnete Luise. "Mathematik ist ja gerade das Studium von logischen Folgerungen aus einfachen, präzisen Gesetzen."

"Was genau verstehen Sie unter ,logisch'?" wollte einer der Konstruktivisten wissen.

"Was meinen Sie mit ,präzise'?" fragte die Fuzzologin.

Luise ließ sich nicht aus dem Konzept bringen. "Wenn wir erst einmal die Gesetze der Natur gefunden haben, können wir alles andere daraus herleiten. Statt eines unordentlichen Flickenteppichs aus näherungsweise gültigen Theorien wären wir schlicht im Besitz der Wahrheit."

"Ich glaube, Sie diskutieren auf einer falschen Ebene", warf ich ein. "Erst vor 100 Jahren haben die Mathematiker bewiesen, daß im Prinzip die gesamte Zukunft des Universums sich aus seinem gegenwärtigen Zustand ergibt. Daraus leitete sich das Bild vom Universum als Uhrwerk her und die Vorstellung, einfache Gesetze müßten zwangsläufig einfaches Verhalten erzeugen. Aber genau das stimmt ja nicht: Einfache Gesetze können extrem komplexes Verhalten zur Folge haben, und manche deterministischen Systeme sind von zufallsbestimmten nicht zu unterscheiden."

"Ach ja, das deterministische Chaos", sagte einer der Konstruktivisten, leicht angewidert. Zu Luise gewandt, fuhr ich fort: "Nehmen wir meinetwegen an, Sie hätten recht. Dann gehorcht das Universum tatsächlich einer kleinen Anzahl einfacher fundamentaler Gesetze, und wir finden diese. Verstehen wir dann die Welt besser, in der wir leben?"

"Aber selbstverständlich", antwortete Luise. "Erstens haben wir dann ein solides philosophisches Fundament für die Betrachtung der Natur. Zweitens ist alles, was in unserer alltäglichen Welt geschieht, Folge der fundamentalen Gesetze. Also erklären die Gesetze alles."

"Im Prinzip vielleicht", wandte ich ein, "aber praktisch nicht. Zum Beispiel jagen Katzen gern Mäuse. Können Sie eine Kette überzeugender logischer Schlüsse angeben, die von Ihren fundamentalen Gesetzen ausgeht und bei der Aussage endet, daß Katzen gern Mäuse jagen? Selbst wenn es eine solche Schlußkette gäbe, wären die zugehörigen Berechnungen extrem lang und vollkommen unbegreifbar."

Luise mußte widerstrebend zustimmen. Ich fuhr fort: "Jede Theorie über Alles leidet unter einem falschen Konzept von ,Erklärung'. Eine Erklärung ist ein expliziter Beweis, der von einer Voraussetzung zu einer Schlußfolgerung führt, und nicht nur eine vage Aussage mit dem Inhalt, daß das Ergebnis irgendwie durch die Voraussetzungen erzwungen wird."


Langtons Ameise

Der Mensch mit dem Laptop erwachte aus seiner Trance. "Darf ich Ihnen allen etwas zeigen? Schauen Sie mal auf den Bildschirm." Ein feines Quadratgitter erschien. "Sehen Sie die Ameise?"

"Wo?"

"Im Mittelpunkt, nur unsichtbar. Aber jetzt werde ich sie in Bewegung setzen."

Auf einen Tastendruck raste irgend etwas wie verrückt über das Gitter und hinterließ eine chaotische Spur von weiß oder schwarz gefärbten Quadraten. Nach etwa einer Minute begann es plötzlich, einen seltsam gemusterten, diagonal verlaufenden Streifen zu erzeugen, und verschwand in einer Ecke des Bildschirms (Bild 1).

"Faszinierend", sagte Luise. "Übrigens, wie ich bereits erwähnt habe, ist die Weltformel…"

"Wenn Sie mich erklären lassen, was Sie gerade gesehen haben", unterbrach der vergeistigte Wissenschaftler, "werden Sie mühelos erkennen, daß es von allerhöchster Relevanz für das Diskussionsthema ist."

"Das sagen Sie immer, selbst wenn es um eine Gewinnstrategie für Schiffeversenken geht."

"Gedulden Sie sich nur einen Moment. Ich habe Ihnen soeben Langtons Ameise vorgeführt. Erfinder dieses erstaunlich einfachen zellulären Automaten ist Chris Langton vom Santa-Fe-Institut."

"Die Komplexitätsmafia? Aus der Wüste von New Mexico?"

"Genau. Diese Leute untersuchen globale Gesetzmäßigkeiten in komplexen Systemen. Langtons Ameise ist ein einfaches Beispiel. Anfangs sitzt sie im mittleren Quadrat und schaut in eine bestimmte Richtung – sagen wir nach Osten. Sie bewegt sich Schritt für Schritt über die Ebene, die aus lauter schwarz oder weiß gefärbten Quadraten besteht. Die Farbe des Feldes, auf dem sie gerade sitzt, bestimmt ihre nächste Aktion. Ist es schwarz, färbt die Ameise es weiß und dreht sich dann um 90 Grad nach links. Ein weißes Feld färbt sie schwarz und dreht sich um 90 Grad nach rechts. Anschließend krabbelt sie ein Feld weiter in ihrer neuen Richtung. Diese einfachen Regeln wendet sie auf ihrem neuen Feld wieder an, und so weiter."

"Klingt nach Turing-Maschine", sagte ein Konstruktivist.

"Ja, aber eine in zwei Raumdimensionen. Es handelt sich um eine spezielle Art Turmiten" (Spektrum der Wissenschaft, November 1989, Seite 8). Nathan, der Laptop-Besitzer, fuhr fort: "Wenn die Ameise auf einem vollständig weißen Bildschirm startet, bildet sie zunächst ein schwarzes 2×2-Quadrat; ihr weiterer Weg ist nicht mehr einfach zu beschreiben" (Bild 2).

"Ein überraschend komplexes Verhalten für einen derart einfachen Satz von Regeln", bemerkte ich.

"Sehen Sie, Luise, die Ameisen-Ebene ist ein eigenes kleines Universum. Und in dem sind Langtons Regeln die Theorie über Alles", rief Nathan begeistert. "Schauen Sie sich das an. So etwa bis zum 500. Schritt kehrt das Tier immer wieder zum Mittelpunkt zurück und hinterläßt eine Folge von nahezu symmetrischen Mustern. Während der nächsten ungefähr 10000 Schritte geht es sehr chaotisch zu. Dann plötzlich scheint es, als wüßte die Ameise endlich, was sie will: Sie baut eine Struktur auf, die ihr Entdecker James Propp vom Massachusetts Institute of Technology in Cambridge eine Autobahn nennt. Immer wieder durchläuft die Ameise eine Folge von genau 104 Schritten, jedesmal um zwei Felder in Richtung Nordwesten versetzt" (Bild 1).

"Faszinierend", bemerkte ich. Luises Gesichtsausdruck signalisierte Mißbilligung. "Na und?" schien sie zu sagen.

"Das wirklich Faszinierende ist", führte Nathan weiter aus, "daß die Ameise stets in die Phase des Autobahnbaus zu geraten scheint, sogar dann, wenn man anfangs schwarze Quadrate über das Gitternetz verstreut."

"Das glaube ich nicht", bemerkte einer der Konstruktivisten. "Wenn ich sie unmittelbar neben einem unendlich langen Gitterzaun aus schwarzen Quadraten mit einer geeigneten Gitterweite starten lasse…"

"Verzeihung. Endlich viele schwarze Quadrate in beliebiger Anordnung. Nur – bislang konnte niemand beweisen, daß die Ameise stets eine Autobahn baut."

"Gibt es denn überhaupt bewiesene Aussagen für den Fall endlich vieler schwarzer Quadrate?"

"Ja", antwortete Nathan. "E. G. D. Cohen und X. P. Kong von der Rockefeller-Universität in New York haben gezeigt, daß der Weg der Ameise zwangsläufig unbeschränkt ist. Sie überschreitet die Grenzen jedes endlichen Gebietes" (Kasten Seite 12).

"Was hat das bloß mit der Weltformel zu tun?" fragte Luise gereizt.

"Wir kennen die Theorie über Alles für Langtons Ameise", versuchte Nathan zu erklären. "Die Regeln. Wir haben sie ja selbst festgelegt. Trotzdem kann niemand eine einfache kleine Frage beantworten: Baut die Ameise, ausgehend von einer beliebigen Umwelt mit endlich vielen schwarzen Zellen, stets eine Autobahn?"

"Also mangelt es in diesem Punkt der Theorie über Alles an Erklärungskraft?" fragte ich.

"Genau. Sie sagt alles voraus, aber erklärt nichts. Der Satz von Cohen und Kong hingegen erklärt, warum jede Ameisenspur unbeschränkt ist."

"Ich sehe einige Ungereimtheiten in Ihrer Schlußfolgerung", bemerkte Luise. "Erstens: Woher hat der Satz von Cohen und Kong seine Erklärungskraft, wenn nicht von der Theorie über Alles, aus der er folgt? Zweitens beruht Ihr Argument auf bloßer Unkenntnis. Vielleicht bringt morgen jemand einen Beweis dafür, daß Ameisen immer Autobahnen bauen – und dann haben Sie Pech gehabt."

"Das kann sein", entgegnete Nathan. "Aber ich muß Ihrem ersten Punkt widersprechen. Die Erklärung für die Unbeschränktheit der Ameisen-Bahnen kommt nicht aus der Theorie über Alles, sondern daraus, daß man die Folgerung aus dieser Theorie, nämlich den Satz von Cohen und Kong, explizit macht. Sie können Ihre Weltformel mitsamt eindeutiger Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen herunterbeten, bis Sie schwarz werden. Davon wissen Sie immer noch nicht, ob es eine beschränkte Bahn gibt. Genauso hilft uns unsere erschöpfende Kenntnis der Theorie nicht zu entscheiden, ob Autobahnbauen das Schicksal jeder Ameise ist, bis jemand es – aus der Theorie – beweist."

"Oder widerlegt."

"Ist das nicht ein bißchen viel Philosophie für ein einzelnes ungewöhnliches Beispiel?" warf ich ein.

"Eigentlich nicht", konterte Nathan. "Langtons Ameise ist geradezu typisch für regelbasierte Systeme. Es gibt eine Vielzahl von Verallgemeinerungen, und sie bieten viele Überraschungen, aber auch Gemeinsamkeiten, was ich noch viel merkwürdiger finde. Setzen Sie spaßeshalber in Ihrem Computer eine oder mehrere Ameisen in ein ausgewähltes Umfeld und sehen Sie zu, was sie treiben. Sie können Regeln ändern und eine völlig andere Welt definieren – zum Beispiel Bienenwaben anstelle der Quadrate. Es gibt übrigens eine praktische Anwendung: In der statistischen Mechanik betrachtet man Anordnungen von Teilchen – statt der Ameisen –, die zu jedem gegebenen Zeitpunkt nur in einem von mehreren Zuständen existieren können" (vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Oktober 1989, Seite 10).


Verallgemeinerte Ameisen

Nathan wußte noch mehr: "Es gibt auch außerhalb von Santa Fe Ameisenforscher: Grek Turk von der Universität Stanford in Kalifornien, Leonid A. Bunimovich vom Georgia Institute of Technology in Atlanta und Serge E. Troubetzkoy von der Universität Bielefeld, der inzwischen an der Staatsuniversität von New York in Stony Brook arbeitet. Sie untersuchen verallgemeinerte Ameisen in Ebenen, deren Felder nicht nur schwarz oder weiß sein, sondern n verschiedene Farben annehmen können.

Die Farben sind mit 0, 1, 2, … n-1 numeriert. Wenn eine Ameise auf einem Feld steht, färbt sie es um, und zwar mit der in der Numerierung folgenden Farbe. Ein Feld mit der Farbe k erhält also die Farbe zu k+1; aus der Farbe n-1 wird die Farbe 0.

Außerdem ändert sie ihre Laufrichtung, und zwar nach einer Regel, die in einer Kette aus Nullen und Einsen festgelegt ist. Die Glieder der Kette sind ebenfalls von 0 bis n-1 numeriert. Die bisherige Farbe des Feldes, auf dem die Ameise steht, habe die Nummer k. Dann wendet sie sich nach rechts, falls das k-te Symbol eine Eins ist, sonst nach links. Sie bewegt sich dann ein Feld weiter, und der Vorgang beginnt erneut.

Langtons ursprüngliche Ameise entspricht der Regel-Kette 10."

"Zehn?"

"Eins – null. Von der Ameise aus gesehen, ist eine Regelkette keine Zahl. Aber Sie haben die Freiheit, sie als Zahl zu interpretieren – zweckmäßig im Binärsystem. Auf diese Weise hat jede Ameise ihrerseits eine Nummer."

"Beziehungsweise ihre Regelkette."

"Was ungefähr dasselbe ist. Einige Ketten ergeben eine triviale Dynamik – beispielsweise läuft eine Ameise mit der Regel 11 (oder auch 111…1) ewig auf einem 2×2-Quadrat um. Aber jede Regel, die sowohl 0 als auch 1 enthält, erzeugt eine unbeschränkte Bahn. Das folgt aus einer Variante des Beweises von Cohen und Kong."

Nathan war nicht mehr zu bremsen. "Angenommen, Sie beginnen der Einfachheit halber mit einem blanken Bildschirm – alle Quadrate sind weiß. Die Ameise 100 erzeugt anfangs Muster, die etwa so aussehen wie die von Langtons Ameise – zuerst symmetrisch, dann chaotisch. Nach 150 Millionen Schritten verhält sie sich immer noch chaotisch. Wird sie je eine Autobahn bauen? Keiner weiß das.

Bei Ameise 110 ist es einfach: Sie geht nach 150 Schritten zum Autobahnbau über, und für ein Stückchen neuer Fahrbahn braucht sie nur 18 Schritte statt 104 wie Langtons Ameise. Dagegen ist 1000 hoffnungslos chaotisch. Die Ameise 1101 beginnt chaotisch, fängt aber nach 250000 Schritten an, eine Autobahn zu bauen; die Zykluslänge ist 388. Ameise 1100 macht ein komplexes Muster nach dem anderen, und immer wieder ist ein bilateral symmetrisches darunter – unendlich oft" (Bild 3).

"Bor äy", sagte der Pickelige. "Und was ist mit Autobahnen?"

"Schlecht", erwiderte Nathan. "Die Ameise 1100 kommt nämlich immer wieder nach Hause zurück. Aber das ist eine andere Geschichte" (siehe die "Mathematischen Unterhaltungen" in der nächsten Ausgabe).

Nathan erhob die Stimme und wandte sich mit großer Geste an das Volk. "Ich fordere jeden auf, all diese Verhaltensweisen auf einfache Weise zu klassifizieren oder ausgehend von der Regel-Kette das Langzeitverhalten vorherzusagen – und wenn es nur für den Fall einer anfänglich blanken Ebene ist."

Luise warf ihm einen giftigen Blick zu. "Sie haben nicht bewiesen, daß niemand das kann."

"Stimmt", unterbrach ich. "Aber die Chancen sind schlecht. Wenn man nur geringfügig komplexere Regeln zuläßt, kommt man zum Beispiel zum ,Spiel des Lebens' von John Horton Conway. Wie Conway selbst bewiesen hat, gibt es in diesem Spiel bestimmte Konfigurationen, die universelle Turing-Maschinen bilden – programmierbare Computer" (Spektrum der Wissenschaft, Juli 1985, Seite 4).

"Ach so." Auf einmal wußte einer der Konstruktivisten weiter. "Wie schon Alan Turing gezeigt hat, ist das Langzeitverhalten einer Turing-Maschine unentscheidbar. Zum Beispiel ist es unmöglich, im voraus zu bestimmen, ob ein beliebiges Programm anhält oder nicht."

"Eben", führte ich den Gedanken weiter. "Im Spiel des Lebens entspricht dies der formalen Unentscheidbarkeit der Frage: ,Wird diese Konfiguration unbeschränkt wachsen?' Hier liegt also ein Fall vor, daß wir die Theorie über Alles kennen und eine einfache Frage wissen, die auf der Basis dieser Theorie nachweislich nicht beantwortet werden kann."

"Genau", stimmte Nathan zu und wandte sich an Luise. "Wie kommen Sie überhaupt darauf, daß für unser Universum eine Theorie über Alles einen Erkenntnisgewinn bringen könnte?"

Da fiel ihr nur noch Fundamentalistisches ein: "Das muß man einfach glauben. Immerhin ist ja nicht ausgeschlossen, daß eine Theorie über Alles eine Frage beantwortet, dir mir gerade besonders wichtig ist."

Literaturhinweise

- Gewinnen. Strategien für mathematische Spiele, Band 4: Solitärspiele. Von Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway und Richard K. Guy. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1985.

– Mathematical Entertainments. Von David Gale in: The Mathematical Intelligencer, Band 15, Heft 2, Seiten 54 und 55, Frühjahr 1993.

– Further Ant-ics: Trajectories of Generalized Ants. Von Jim Propp in: The Mathematical Intelligencer, Band 16, Heft 1, Seiten 37 bis 42, Winter 1994.

– Further Travels with My Ant. Von David Gale, Jim Propp, Scott Sutherland und Serge Troubetzkoy. Erscheint in: The Mathematical Intelligencer, Band 17, Heft 3, Sommer 1995.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 8 / 1995, Seite 10
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