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Geometrie: Die Geschichte von den drei kleinen Achtecken
Die biedere Geometrie der Ebene bietet überraschenderweise Probleme, die
ein Dreivierteljahrhundert einer Lösung widerstanden haben. Erst die modernsten
Verfahren der numerischen Optimierung brachten den Durchbruch.
Der Satz "Je symmetrischer, desto
optimaler" gehört gewissermaßen
zur mathematischen Folklore. Er
stimmt ja auch, ebenso wie seine
Umkehrung – meistens. Die Figur in der
Ebene, die bei gegebenem Flächeninhalt den
kleinsten Umfang hat, ist die symmetrischste
aller Figuren: der Kreis. Umgekehrt ist auch
der Kreis unter allen Figuren gegebenen Umfangs
die mit der größten Fläche.
Ähnliches gilt, wenn man sich auf Figuren beschränkt, die von geraden Linien begrenzt werden. Man verbinde n gleich lange Stangen durch Gelenke in den Endpunkten zu einem gleichseitigen, beweglichen Polygon (Vieleck). Dieses Gebilde schließt genau dann die maximale Fläche ein, wenn es ein regelmäßiges Vieleck ist, wenn also nicht nur alle Seiten, sondern auch alle Winkel gleich sind. Umso überraschender ist es, dass diese Regel Ausnahmen hat. Unter allen Achtecken gegebener Größe ist das regelmäßige nicht dasjenige mit der größten Fläche!
Aber was genau heißt "Größe"? Der Umfang einer Figur ist dafür ja nicht unbedingt ein geeigneter Maßstab – eher schon die Bildschirmdiagonale oder, wissenschaftlicher ausgedrückt, der Durchmesser, das heißt der größte Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten des Gebildes...
Ähnliches gilt, wenn man sich auf Figuren beschränkt, die von geraden Linien begrenzt werden. Man verbinde n gleich lange Stangen durch Gelenke in den Endpunkten zu einem gleichseitigen, beweglichen Polygon (Vieleck). Dieses Gebilde schließt genau dann die maximale Fläche ein, wenn es ein regelmäßiges Vieleck ist, wenn also nicht nur alle Seiten, sondern auch alle Winkel gleich sind. Umso überraschender ist es, dass diese Regel Ausnahmen hat. Unter allen Achtecken gegebener Größe ist das regelmäßige nicht dasjenige mit der größten Fläche!
Aber was genau heißt "Größe"? Der Umfang einer Figur ist dafür ja nicht unbedingt ein geeigneter Maßstab – eher schon die Bildschirmdiagonale oder, wissenschaftlicher ausgedrückt, der Durchmesser, das heißt der größte Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten des Gebildes...
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