Dieser Satz ist falsch." Ist dieser Satz wahr oder falsch? Diese einfache Frage führt in einen unauflöslichen Widerspruch und in letzter Konsequenz zu dem Schluss, dass die naive Mengenlehre unvollständig ist. Es handelt sich nicht nur um ein Paradox in dem wörtlichen Sinne, dass eine Aussage unseren Erwartungen krass widerspricht; vielmehr zeigt uns dieses Problem die Grenzen des logischen Denkens überhaupt auf.

Nicht alle Paradoxa sind so tief liegend und hartnäckig. Unter sorgfältiger Analyse fallen manche in sich zusammen. Ich stelle Ihnen hier meine Meinung zu drei klassischen Problemen vor; sie mag Ihren Widerspruch erregen.

Protagoras, ein griechischer Philosoph im 5. vorchristlichen Jahrhundert, unterwies einen Schüler im Metier des Rechtsanwalts. Nach dem Ausbildungsvertrag war das Honorar für die Lehrtätigkeit fällig, sobald der Schüler seinen ersten Prozess gewonnen hatte. Aber nach dem Ende der Lehrzeit zeigte der Schüler keine Neigung, überhaupt Mandanten zu gewinnen, geschweige denn zu zahlen. Schließlich drohte sein Lehrer, ihn deswegen zu verklagen.

Er würde in jedem Falle gewinnen, dachte sich Protagoras. Wenn das Gericht seiner Klage stattgebe, würde es den Schüler zur Zahlung verurteilen; im anderen Falle hätte der Schüler seinen ersten Prozess gewonnen und müsste aus diesem Grunde zahlen. Der Schüler argumentierte dagegen genau umgekehrt: Wenn Protagoras gewinne, sei nach dem Wortlaut des Vertrages kein Honorar fällig; wenn Protagoras dagegen verliere, laute das Urteil ja gerade, dass nichts zu zahlen sei.

Das ist alles ganz lustig, aber bei näherer Analyse nicht besonders tiefsinnig. Beide Parteien suchen sich unter den verfügbaren Argumenten jeweils dasjenige heraus, das ihnen am besten in den Kram passt: Einmal erklären sie den Vertrag für gültig, das andere Mal gehen sie davon aus, dass das Gericht einzelne Bestimmungen oder den ganzen Vertrag außer Kraft setzen kann. Aber wieso geht man überhaupt wegen einer Streitigkeit aus einem Vertrag vor Gericht? Weil es die Aufgabe des Gerichts ist, irgendwelche unvollständigen oder widersprüchlichen Bestimmungen in dem Vertrag zu klären und durch eigene zu ersetzen, wenn es sein muss. Und da der Vertragstext, angewandt auf diesen Prozess, in sich widersprüchlich ist, hat das Gericht die Freiheit, ihn so oder anders zu interpretieren. In jedem Fall hat die Entscheidung des Gerichts Vorrang vor dem Wortlaut des Vertrages. Entscheidet es zu Gunsten von Protagoras, muss der Schüler zahlen, im anderen Falle eben nicht, Vertrag hin oder her. Unter der Sonne der Logik schmilzt das Paradox dahin.

Das Paradox der undefinierbaren Zahl

Nehmen wir ein interessanteres Beispiel; es stammt von dem französischen Logiker Jules Antoine Richard. Manche Ausdrücke der (deutschen) Sprache definieren natürliche Zahlen, andere nicht. Der Ausdruck "das Jahr des Westfälischen Friedens" definiert die Zahl 1648, der Ausdruck "die historische Bedeutung des Westfälischen Friedens" definiert keine Zahl. Nehmen wir den Ausdruck "die kleinste natürliche Zahl, die nicht durch einen Ausdruck aus weniger als siebzehn Wörtern beschreibbar ist". Einerlei wie groß diese Zahl ist, wir haben sie soeben mit nur sechzehn Wörtern beschrieben. Oh.

Wie jetzt? Ist sie nun mit weniger als siebzehn Wörtern beschreibbar oder nicht? Dieser Widerspruch hat keine offensichtliche Auflösung – es sei denn, der zitierte Ausdruck definiert überhaupt keine Zahl. Also müssen wir uns überlegen, ob diese Zahl – die kleinste nicht durch einen kurzen Ausdruck beschreibbare Zahl – existiert.

Wenn wir unterstellen, dass die deutsche Sprache nur endlich viele Wörter hat, dann gibt es auch nur endlich viele Ausdrücke aus höchstens sechzehn Wörtern. Nehmen wir an, es gebe 99999 Wörter, dann gibt es höchstens 100000E16 Ausdrücke mit 16 oder weniger Wörtern. (Das hunderttausendste Wort ist das "leere Wort"; wir füllen die kürzeren Ausdrücke mit leeren Wörtern auf die Länge von 16 auf, um uns das Rechnen zu erleichtern.) Natürlich ist die weit überwiegende Mehrzahl der Ausdrücke sinnlos, und von den sinnvollen definieren die meisten keine natürliche Zahl; aber das heißt nur, dass wir insgesamt weniger Ausdrücke zu berücksichtigen haben. Jedenfalls: Die Menge aller Zahlen, die durch einen Ausdruck aus höchstens sechzehn Wörtern definiert werden, ist endlich, denn die Menge dieser Ausdrücke selbst ist endlich. Und nach einem elementaren Satz der Mathematik gibt es zu einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen stets die eindeutig bestimmte kleinste natürliche Zahl, die nicht in dieser Menge enthalten ist. Es hilft also nichts: Richards 16-Wörter-Ausdruck definiert eine Zahl.

Aber das kann doch nicht sein?! Man könnte Rettung in einem anderen Ausdruck suchen: "eine Zahl, die null ergibt, wenn man sie mit null multipliziert". Dieser Ausdruck definiert nämlich alle natürlichen Zahlen, also ist jede natürliche Zahl mit weniger als siebzehn Wörtern beschreibbar. Demnach beschreibt Richards Definition die leere Menge, und die hat kein kleinstes Element. Aber das hilft nicht, denn der genannte Ausdruck ist keine Definition. Er trifft auf mehr als eine Zahl zu, und Eindeutigkeit ist das Mindeste, was man von einer Definition verlangen muss.

Ist Richards Ausdruck zweideutig? Nein. Er definiert seine Zahl eindeutig: Es kann keine zwei verschiedenen kleinsten Zahlen geben, die seine Bedingung erfüllen.

Mit dem Ausdruck "die kleinste natürliche Zahl, die nicht durch einen Ausdruck aus weniger als sechzehn Wörtern beschreibbar ist" hätten wir bemerkenswerterweise keine Probleme.

Offensichtlich hält Richards Paradox der Analyse stand; es ist kein Scheinwiderspruch, sondern lehrt uns etwas über die prinzipiellen Grenzen, denen die Sprache als Beschreibung der Arithmetik unterliegt.

Das Paradox vom unerwarteten Test

Zum Schluss zur Erholung das so genannte Überraschungs-Paradox. In der klassischen Form wird jemand zum Tode verurteilt mit der Strafverschärfung, dass er den Tag seiner Hinrichtung nicht kennt, bis der Henker die Zelle betritt: Überraschung eben. Ich erzähle Ihnen hier eine jugendgeeignetere Variante. Die Lehrerin kündigt an, dass es an irgendeinem Tag der nächsten Woche (Montag bis Freitag) einen Überraschungstest geben wird. Sie ist bei der Wahl des Datums nicht eingeschränkt (durch Feiertage oder Ähnliches), und es gibt keine Möglichkeit, ihre Entscheidung vorab in Erfahrung zu bringen.

Aber die Schüler denken sich jetzt Folgendes: Wenn der Test bis zum Schulschluss am Donnerstag nicht stattgefunden hat, wissen wir, dass er am Freitag stattfinden muss, und dann ist es keine Überraschung mehr. Also können wir den Freitag als Testtag ausschließen. Jetzt haben wir dasselbe Problem mit einer verkürzten Woche: Montag bis Donnerstag. Wenn bis Mittwochnachmittag kein Test geschrieben wird, bleibt nur der Donnerstag, und die Überraschung ist dahin. Also kann der Test auch am Donnerstag nicht stattfinden. Mit derselben Überlegung schließen die Schüler Mittwoch, Dienstag und Montag aus und kommen zu dem Ergebnis, dass es gar keinen Überraschungstest geben wird.

Am Mittwoch kommt die Lehrerin mit dem Test in die Klasse, und die Überraschung ist groß. Was ist faul an der Logik?

Ich glaube, das Problem sieht aus wie ein Paradox, ist aber keins. Betrachten wir eine logisch gleichwertige Formulierung. Die Schüler verkünden jeden Morgen voll Überzeugung: "Heute wird der Test sein." Das tun sie insbesondere an dem Tag, an dem der Test tatsächlich stattfindet, und können dann mit Recht behaupten, dass der Test keine Überraschung war. Diese Aussage ist eine Art fauler Zauber – wahr, aber trivial. Einen, der täglich mit der Überraschung rechnet, kann nichts überraschen. Ich glaube – und habe das mit vielen Mathematikern diskutiert –, dass in dem Paradox mit dem Überraschungstest derselbe faule Zauber steckt, bloß viel geheimnisvoller verkleidet. Die Unklarheit entsteht dadurch, dass die Akteure der Geschichte – die Schüler – nie etwas tun, sondern sich immer nur etwas vorstellen.

Ich behaupte hier zweierlei. Erstens hängt das Paradox daran, was man unter "Überraschung" versteht. Zweitens, und wichtiger: Unabhängig von dem ersten Punkt gibt es zwei logisch gleichwertige Beschreibungen für die Vorhersagestrategie der Schüler. Eine ist die oben zitierte, die ein echtes Paradox nahelegt; die andere ersetzt hypothetische Handlungen durch echte und macht dadurch aus dem vorgeblichen Paradox eine zutreffende, aber unbedeutende Aussage.

Nehmen wir zur Verdeutlichung an, die Schüler hätten ein katastrophal schlechtes Gedächtnis. Was sie heute lernen, hält gerade noch für den nächsten Tag und ist morgen Abend schon wieder vergessen. Wenn der Test keine Überraschung wäre, dann würden die Schüler, um sich ja nicht zu überarbeiten, am Abend davor auf den Test lernen und an keinem Abend sonst. Aber wenn sie am Sonntag nicht lernen, und am Montag ist der Test, fallen sie durch. Das gleiche gilt für jeden Abend von Montag bis Donnerstag. Da freuen sich die Schüler, denn der Test ist keine Überraschung. Und die Lehrerin freut sich noch mehr, denn ihre Schüler üben bis zu fünf Abende in Folge.

Ein sehr pädagogisches Scheinparadox!

Das Paradox des Protagoras


Problem:

Der griechische Philosoph Protagoras unterweist einen Schüler in Rechtskunde. Der Schüler verpflichtet sich, das Honorar dafür zu zahlen, sowie er seinen ersten Prozess gewonnen hat. Er führt aber keine Prozesse. Daraufhin verklagt ihn Protagoras.

Paradox:

Protagoras glaubt, er werde in jedem Falle gewinnen:

- Wenn das Gericht seinem Antrag stattgibt, muss der Schüler durch Gerichtsurteil zahlen.

- Wenn das Gericht dem Schüler Recht gibt, hat dieser seinen ersten Prozess gewonnen und muss aus diesem Grunde zahlen.

Der Schüler glaubt, er werde in jedem Falle gewinnen:

- Wenn das Gericht seinem Antrag stattgibt, wird er nicht zur Zahlung verurteilt.

- Wenn das Gericht seinem Lehrer Recht gibt, hat er seinen ersten Prozess nicht gewonnen und muss deshalb nicht zahlen.

Auflösung:

Aufgabe eines Gerichts ist es, Bestimmungen eines Vertrags für nichtig zu erklären, wenn es sein muss. Deswegen ist von den Argumenten des Lehrers wie des Schülers der jeweils zweite Teil ungültig.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 3 / 2001, Seite 112
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