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Ein Abenteuer in n Dimensionen

Eine Kugel passt gerade noch in eine Kiste, und doch ist sie darin praktisch nicht mehr zu finden. Solche Merkwürdigkeiten erwarten jeden Besucher hochdimensionaler Räume.
Ein Abenteuer in n Dimensionen

Errata

Auf S. 57, Ende des vorletzten Absatzes, muss es heißen: "Das Volumen der n-Kugel ist gleich 2πr2/n (nicht 2πr2/n) mal dem Volumen der (n–2)-Kugel." Friedrich Tarczynski aus Gaweinstal (Österreich) hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.

Auf S. 56, rechte Spalte, in dem Absatz unter der Überschrift "Die Dimensionen des Problems" muss es in der vierten Zeile "n=5" statt "m=5" heißen. Rita Mühlgassner aus Wien hat uns auf den Fehler hingewiesen.

Weitere Kommentare

Das amerikanische Original dieses Artikel hat ähnlich zahlreiche Online-Leserbriefe ausgelöst wie die vorliegende deutsche Version. Nachzulesen hier.

Wie jeder Schüler habe ich brav die Formeln für den Flächeninhalt des Kreises (πr2) und für das Volumen der Kugel ( (4/3)πr3; r bezeichnet wie üblich den Radius von Kreis beziehungsweise Kugel) auswendig gelernt – und bin, wie so ziemlich jeder Schüler, nicht auf die Idee gekommen, ernsthaft über sie nachzudenken. Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden? Lassen sie sich über die vertraute Welt der zwei- und dreidimensionalen Objekte hinaus auf höhere Dimensionen verallgemeinern? Was ist das »Volumen« einer vierdimensionalen »Kugel«? Gibt es vielleicht eine allgemeine Formel, die ein Inhaltsmaß für das »runde Standardobjekt« im n-dimensionalen Raum angibt?

Erst ungefähr 50 Jahre nach meiner ersten Begegnung mit den genannten Formeln hatte ich endlich Anlass – und Gelegenheit –, mich mit diesen Fragen ausführlicher zu befassen. Die allgemeine Formel für das Volumen der n-dimensionalen Kugel war dank Google und Wikipedia schnell zu finden (siehe unten). Aber die Abhängigkeit des Volumens von der Dimension widersprach nicht nur meinen Erwartungen; sie zählt zum Verrücktesten, was mir je in der Mathematik begegnet ist. Mit Erschrecken musste ich feststellen, dass mir ein wahrhaft bemerkenswertes Phänomen ein halbes Jahrhundert lang verborgen geblieben war.

In jenen Kindheitstagen, als ich die Volumenformel auswendig lernte, spielten wir auch viel mit Bällen – und ärgerten uns jedes Mal über die Unterbrechung, wenn ein Ball im Gebüsch landete. Damals wusste ich es noch nicht; aber wir konnten von Glück reden, dass unser Spielfeld nur die Dimension 2 hatte. Hätten wir den Ball in einem höherdimensionalen Raum verloren, würden wir vermutlich noch heute nach ihm suchen…

August 2012

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft August 2012

Lesermeinung

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  • Quellen

Cipra, B.: Disproving the Obvious in Higher Dimensions. In: Cipra, B.: What’s Happening in the Mathematical Sciences 1. American Mathematical Society, Providence (RI) 1993, S. 21 – 25

Clifford, W. K.: Question 1878. In: Mathematical Questions, with Their Solutions, from the »Educational Times« 6, 1866, S. 83 – 87

Conway, J. H., Sloane, N. J. A.: Sphere Packings, Lattices, and Groups. Springer, New York, 3. Auflage 1999

Schläfli, L.: Theorie der vielfachen Kontinuität. Zürcher und Furrer, Zürich 1901. Nachgedruckt in: Ludwig Schläfli, 1814 – 1895, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Vol. I, Birkhäuser, Basel 1950, S. 167 – 387

Sommerville, D. M. Y.: Bibliography of Non-Euclidean Geometry, Including the Theory of Parallels, the Foundation of Geometry, and Space of N Dimensions. Harrison & Sons, London 1911

Sommerville, D. M. Y.: An Introduction to the Geometry of N Dimensions. Dover Publications, New York 1929