Wie jeder Schüler habe ich brav die Formeln für den Flächeninhalt des Kreises (πr²) und für das Volumen der Kugel ( (4/3)πr³; r bezeichnet wie üblich den Radius von Kreis beziehungsweise Kugel) auswendig gelernt – und bin, wie so ziemlich jeder Schüler, nicht auf die Idee gekommen, ernsthaft über sie nachzudenken. Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden? Lassen sie sich über die vertraute Welt der zwei- und dreidimensionalen Objekte hinaus auf höhere Dimensionen verallgemeinern? Was ist das »Volumen« einer vierdimensionalen »Kugel«? Gibt es vielleicht eine allgemeine Formel, die ein Inhaltsmaß für das »runde Standardobjekt« im n-dimensionalen Raum angibt?

Erst ungefähr 50 Jahre nach meiner ersten Begegnung mit den genannten Formeln hatte ich endlich Anlass – und Gelegenheit –, mich mit diesen Fragen ausführlicher zu befassen. Die allgemeine Formel für das Volumen der n-dimensionalen Kugel war dank Google und Wikipedia schnell zu finden (siehe unten). Aber die Abhängigkeit des Volumens von der Dimension widersprach nicht nur meinen Erwartungen; sie zählt zum Verrücktesten, was mir je in der Mathematik begegnet ist. Mit Erschrecken musste ich feststellen, dass mir ein wahrhaft bemerkenswertes Phänomen ein halbes Jahrhundert lang verborgen geblieben war.

In jenen Kindheitstagen, als ich die Volumenformel auswendig lernte, spielten wir auch viel mit Bällen – und ärgerten uns jedes Mal über die Unterbrechung, wenn ein Ball im Gebüsch landete. Damals wusste ich es noch nicht; aber wir konnten von Glück reden, dass unser Spielfeld nur die Dimension 2 hatte. Hätten wir den Ball in einem höherdimensionalen Raum verloren, würden wir vermutlich noch heute nach ihm suchen...