Chaos ist keine Neuentdeckung des Computerzeitalters, auch wenn es durch die schönen Computerbilder modisch und populär geworden ist; es war schon immer ein wesentlicher Bestandteil sehr realer Vorgänge. Wir stellen hier einfache Experimente vor, die Chaos, wie wir es heute verstehen, anschaulich machen. Den Rechner verwenden wir dabei ausschließlich als Hilfsmittel, um die auftretenden Phänomene genauer zu untersuchen.

Die Pendelbewegung einer Eisenkugel, die im Feld dreier Magnete aufgehängt ist, zeigt schon die ganze Palette chaotischen Verhaltens (Bild 1). Stößt man die Kugel an, beginnt sie auf unvorhersagbare Weise zwischen den Magneten zu tanzen. Plötzlich aber scheint sie zu einer gleichmäßigen schleifenförmigen Bewegung um zwei Magnete überzugehen, die wieder zu einem unerwarteten Zeitpunkt von offensichtlich chaotischen Bewegungsmustern abgelöst wird. Erst wenn das Pendel durch Reibung genügend Energie verloren hat, wird es von einem der drei Magnete eingefangen und kommt über ihm zur Ruhe. Vorher jedoch scheint jede Prognose über die Bahn sinnlos.

Dieses Verhalten ist um so verblüffender, als man nicht irgendwelche zufälligen Einflüsse, Unregelmäßigkeiten im Aufbau oder äußere Störungen zur Erklärung heranziehen muß, sondern einfache deterministische Regeln dafür ausreichen. Die Kräfte, die von den Magneten und der Gravitation auf die Kugel ausgeübt werden, legen die weitere Bewegung der Kugel eindeutig fest, die Bahn ist für alle Zukunft vollständig determiniert; man spricht vom deterministischen Chaos. Es wäre irreführend, chaotische Bewegungen als "regellos" oder "unregelmäßig" zu bezeichnen, denn trotz ihrer Komplexität sind sie Ergebnis weniger, eindeutiger Regeln.


Wie Chaos entsteht

Man stelle sich vor, das Pendel werde auf der Symmetrielinie zwischen zwei Magneten losgelassen. Die seitwärts gerichteten Kräfte dieser beiden Magnete heben sich dann gerade auf, und auf das Pendel wirkt in jedem Moment nur eine resultierende Kraft – einschließlich jener des dritten Magneten – in Richtung der Symmetrielinie, die das Pendel somit nie verlassen wird. Eine leicht vorhersagbare Bewegung entsteht; sie ist periodisch, wenn man die Reibung vernachlässigt.

Allerdings wird es nie gelingen, sie im Experiment zu erzeugen. Trifft man nämlich die Symmetrielinie nicht ganz präzise, wird die Kugel einem der beiden seitlichen Magnete etwas näher kommen als dem anderen. Deren ablenkende Kräfte kompensieren sich nicht mehr, und die anfängliche Abweichung von der Ideallinie wächst an. Damit ist die periodische Bewegung zwar theoretisch möglich, aber instabil: Beliebig kleine Abweichungen werden so sehr verstärkt, daß nach ein paar Schwingungen die bisher regelmäßig scheinende Bewegung in eine unabsehbare übergeht – das Chaos bricht aus (Bild 1 rechts oben).

Vielleicht steckt in dieser Instabilität periodischer Bahnen auch der ästhetische wie intellektuelle Reiz chaotischer Systeme für den Betrachter. Wir haben das starke Bedürfnis, in Bewegungsabläufe periodisches Verhalten hineinzuinterpretieren. Dabei sind wir oft recht unkritisch. Schon nach zwei oder drei Wiederholungen sind wir bereit, an die Wiederkehr des immer Gleichen zu glauben. Aber damit erschlafft auch das Interesse; wir haben das System eingeordnet und glauben es verstanden zu haben.

Chaotische Systeme zeigen nun durchaus solche sich scheinbar wiederholenden Bewegungsmuster. Aber dann verstärken sich die unsichtbar kleinen Abweichungen plötzlich, das System verläßt die erwarteten Pfade, und wir erklären es für völlig regellos, denn es folgt nicht mehr unserer zu simplen Theorie. Unsere Vorhersage wird nicht erfüllt – das verunsichert uns. So wird verständlich, warum der Begriff "Chaos" im Alltag häufig negativ besetzt ist. Aber gleichzeitig wird durch dieses Ausbrechen aus der Berechenbarkeit, die immer anderen Bewegungsmuster, unsere Aufmerksamkeit stets aufs neue gefesselt.

Ob das Chaos wirklich ausschließlich auf die einfachen Gesetze des Systems zurückgeht, ist im Experiment schwer festzustellen. Äußere Störungen können hier nie gänzlich beseitigt werden. Deshalb spielt man die Bewegung des Pendels in einer Computersimulation durch und berücksichtigt nur die Einflüsse der Magnete und der Gravitation. Eine kleine mitmodellierte Reibung sorgt dafür, daß das Pendel auch in diesem idealisierten Falle über einem der drei Magnete zur Ruhe kommt. Mit einer solchen Simulation läßt sich nicht nur eindrucksvoll zeigen, daß schon sehr einfache Regeln ohne jeden Einfluß des Zufalls Chaos produzieren können, sondern auch ohne großen Aufwand in die Vielfalt der zugehörigen Phänomene eindringen.

Einen guten Überblick über die Dynamik unseres Systems gibt eine Karte, die der Mathematiker Dietmar Saupe, der jetzt an der Universität Freiburg arbeitet, durch eine Rechnersimulation an der Universität Bremen erzeugt hat. Verschiedene Startpunkte der Bewegung wurden je nach dem Magneten, bei dem die Bewegung endet, blau, rot oder gelb eingefärbt (Bild 1). Startet das Pendel in unmittelbarer Nähe eines Magneten, kann es dessen Anziehungsbereich nicht verlassen: Das einheitliche Farbfeld um jeden der Magnete entspricht diesem Bereich. Außerhalb gibt es aber weite Gebiete, in denen blaue, gelbe und rote Felder beliebig dicht beieinander liegen.

Für die Vorhersage der Bahnkurve im Experiment hat das fatale Konsequenzen. Da man den Startpunkt der Bewegung immer nur mit einer gewissen Unsicherheit festlegen kann, ist in diesem Bereich nicht entscheidbar, ob man auf einem blauen Punkt startet und damit beim blauen Magneten enden wird, oder ob der Startwert doch in einem roten oder gelben Bereich lag und ein anderer Magnet Endpunkt der Bewegung wird.

Ein solcher Selbstverstärkungsprozeß, bei dem sich kleinste Anfangsfehler im Laufe der Zeit zu großen Unsicherheiten aufschaukeln, ist charakteristisch für alle chaotischen Vorgänge. Den genauen Zustand eines solchen Systems über längere Zeiten hinweg vorherzusagen wird so prinzipiell unmöglich.

Während kleinste Abweichungen exponentiell verstärkt werden können, wachsen große Unterschiede nicht weiter an. Es ist sogar so, daß sich weit entfernte Bahnen wieder aufeinander zu entwickeln können. Insgesamt bleibt die Bewegung des Systems dadurch auf einen fest umgrenzten Bereich beschränkt; in diesem können die Bahnen aber beliebig verknäult werden.

Diese Kombination von Selbstverstärkung im Kleinen und Beschränktheit im Großen ist nur möglich, wenn die dem System zugrundeliegenden Bewegungsgleichungen nichtlinear sind. Lineare Systeme sind nämlich gerade solche, in denen der Effekt einer – kleinen oder großen – Abweichung proportional zu deren Größe ist. Dagegen hängt in nichtlinearen Systemen die weitere Entwicklung von der absoluten Größe der Systemvariablen ab.

Häufig stecken in einem System noch gewisse Parameter, die auf sein Verhalten insgesamt Einfluß nehmen. Im Falle des Magnetpendels wären das unter anderem die Stärke der Magnete, ihre Entfernungen untereinander, die Länge der Pendelaufhängung und die Erdbeschleunigung. Variiert man diese Größen, nimmt möglicherweise der chaotische Charakter des Systemverhaltens zu oder ab (Bild 1 unten).

Bei den meisten chaotischen Systemen kann man die Parameter auch so einstellen, daß die Selbstverstärkung und damit das Chaos verschwindet. Geringe Änderungen eines Parameters können es dann aber wieder ausbrechen lassen.

Getriebene chaotische Systeme: Das Doppelpendel

Ein gewisses Mindestmaß an Komplexität ist unabdingbar für Chaos. Einem System mit nur zwei Freiheitsgraden – etwa einem (idealisierten) Pendel, bei dem die einzigen Variablen Ort und Geschwindigkeit des aufgehängten Massenpunktes sind – bleibt nichts anderes übrig, als sich auf die Dauer in einen periodischen oder einen stationären Zustand zu begeben. Hängt man dagegen zwei Pendel aneinander, so zeigt das System ungeordnete, chaotische Bewegungen, wenn man es kräftig anstößt (Bild 2).

Durch Reibung kommt das System nach einer Weile zum Stillstand – ein nicht-chaotisches Verhalten, das auf lange Zeit hinaus vorherzusagen nicht schwerfällt. Da die Systeme der klassischen Physik in der Praxis von ihrer Außenwelt nicht völlig isoliert sind, sondern als offene Systeme mit ihr wechselwirken, verlieren sie in der Regel Energie an die Umgebung (etwa beim Fahrrad durch Luftreibung und Rollreibung auf der Straße). Wird durch diese Dissipation sämtliche verfügbare Energie auf diesem Wege abgegeben, kommt das System zum Stillstand.

Zur Aufrechterhaltung der Bewegung – auch der chaotischen – muß man die dissipierte Energie, wiederum von außen, ersetzen, indem man dem System einen Antrieb gibt. Einen solchen Aufbau hat der Hamburger Künstler Uwe Niemann, angeregt durch einen Besuch in unserem Labor, in Form eines kinetischen Objekts realisiert (Bild 3). Auch hier sieht man zwei verbundene Pendel, doch wird jeder Arm angetrieben: Motoren schieben die schwarzen Platten am Ende der Pendel periodisch nach außen und innen.

Physikalisch würde man bei einem Aufbau dieser Art von zwei gekoppelten, parametrisch getriebenen Pendeln sprechen. Bereits ein einzelnes solches Pendel kann – im Gegensatz zum ungetriebenen Einfachpendel – chaotische Schwingungen ausführen. Dem Betrachter zeigt das Objekt langsame Bewegungen, deren Muster sich nie wiederholen. Der Künstler erreicht also seine Absicht, eine kinetische Plastik zu schaffen, der zuzuschauen nie langweilig wird, mit Hilfe des deterministischen Chaos.


Steuerung chaotischer Dynamik

Chaosforschung wäre brotlose Kunst, würde sie sich allein auf die Beschreibung und Modellierung von Vorgängen beschränken. Beides ist jedoch auch praktisch anwendbar: Das Verhalten eines Systems kann über kurze Zeiträume mit Hilfe eines genauen Modells gut vorhergesagt werden. Damit hat man auch die Möglichkeit, steuernd auf eine chaotische Dynamik einzuwirken und sie durch eine regelmäßige zu ersetzen.

Ein Verfahren, das Alfred Hübler von der Universität von Illinois in Urbana-Champaign erdacht hat, kommt bei hinreichend genauer Modellierung mit kleinen Steuerkräften und sogar ohne Rückkopplung aus; der zu steuernde Vorgang muß also nicht dauernd gemessen werden. Auch das OGY-Verfahren von Edward Ott, Celso Grebogi und James A. Yorke von der Universität von Maryland in College Park erreicht periodisches Verhalten mit sehr kleinen Eingriffen in das zu steuernde System (siehe "Das Chaos meistern" von William L. Ditto und Louis M. Pecora, Spektrum der Wissenschaft, November 1993, Seite 46).

Das hier vorgestellte Experiment benötigt kein sehr genaues Modell, um zu funktionieren; dennoch ist die Form der Steuerung sehr wichtig. Die komplizierte Bildung von Tropfen, etwa an einem unregelmäßig tropfenden Wasserhahn, hat schon viele Forscher fasziniert (vergleiche "Chaos" von James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard und Robert S. Shaw, Spektrum der Wissenschaft, Februar 1987, Seite 78, "Tropfenkollisionen" von Günter Brenn und Arnold Frohn, Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1990, Seite 116, sowie den Beitrag von Wilhelm Sternemann im Anschluß an diesen Artikel). Vergrößert man kontinuierlich den Wasserdurchfluß durch den Hahn, geht die Folge der zunächst periodisch fallenden Tropfen an einem bestimmten Punkt in eine Folge mit doppelter Periode über, die sich bei noch etwas höherem Durchfluß nochmals verdoppelt, bis sich schließlich ein gänzlich aperiodisches – eben chaotisches – Verhalten einstellt. Meist ist der Wasserstrahl dann im oberen Teil zusammenhängend und zerfällt erst weiter unten in einzelne Tropfen.

Der beschriebene Übergang von stationärem über periodisches Verhalten und wiederholte Periodenverdopplung zu chaotischem Verhalten in Abhängigkeit vom Wert eines äußeren Parameters (hier des Wasserdurchflusses) findet sich bei vielen nichtlinearen Systemen der unterschiedlichsten Art wieder (vergleiche "Wege zum Chaos" von Georg Wolschin, Spektrum der Wissenschaft, Februar 1987, Seite 91).

Wir zeigen, wie man der Tropfenfolge das Chaos wieder austreibt. Dazu montieren wir den Wasserhahn (in unserem Falle ein Stück Kunststoffrohr) auf der Membran eines Lautsprechers, die wir in periodische Schwingungen versetzen (Bild 4 unten). Über ein Steuergerät kann man die Schwingungsform (zum Beispiel Sinus- oder Sägezahnschwingung) detailliert einstellen. Bei manchen Frequenzen und Schwingungsformen überträgt der Wasserhahn seine eigene -lautsprechergetriebene – periodische Bewegung auf die Ablösung der Tropfen, die nun regelmäßig fallen. Eine ungeschickte Form der Anregung kann aber auch das Chaos verschlimmern; unter Umständen werden dann sogar Tropfen seitlich aus dem Hauptstrahl herausgeschleudert. Durch geeignete Formung der Schwingung ist es möglich, eine Vielfalt von periodischen Tropfenmustern und komplizierten Folgen reproduzierbar zu erzeugen (Bild 4 oben).

Unter periodischer (stroboskopischer) Blitzbeleuchtung – mit derselben Frequenz wie die Anregung – scheint das Muster völlig stillzustehen: Man sieht scharf begrenzte, unbewegte Tropfen. Daraus folgt, daß nicht nur der Abstand zwischen zwei Tropfen, sondern auch deren Form während des Fallens exakt einheitlich ist, obgleich sie stark von der ungestörten Tropfenform abweicht.


Strukturbildung

Eine alte Tischplatte wird mit einem Schwingschleifer abgeschliffen. Der Holzstaub liegt schon in einer dicken Schicht auf der vibrierenden Unterlage. Unvermutet bildet der Staubbereich einen scharfen Rand aus, innerhalb entstehen kleine Hügel. Sie schlucken die Partikel in ihrer Umgebung, wandern über die Platte, verschmelzen mit anderen Hügeln, werfen in plötzlichen Eruptionen Staub aus, säen so in ihrer Nachbarschaft neue kleine Hügel – ein faszinierendes Wechselspiel von Strukturen entsteht.

Um diese Phänomene genauer zu untersuchen, haben wir in unserer Arbeitsgruppe ein Experiment aufgebaut, das die Situation etwas idealisiert. Auf die auf und ab schwingende Membran eines Lautsprechers wurde eine 5 Millimeter dicke Plexiglasplatte geklebt und auf ihr Lykopodiumpulver (Bärlappsporen) aus der Apotheke verteilt. Diese Sporen sind von gleichmäßiger Größe und Form und haften nicht aneinander, was für unseren Versuch wichtig ist.

Nach gleichmäßigem Ausstreuen des Pulvers und Einschalten des Lautsprechers bildet der staubbedeckte Bereich einen scharfen Rand aus – ganz gegen die intuitive Erwartung, die Sporen müßten sich durch das Rütteln gleichmäßig über die Platte verteilen. Während der nächsten halben Minute entstehen dann Häufchen, die zu immer größeren Bergen zusammenwachsen (Bild 5). Die langsame Wanderbewegung, die auf den Bildern zu beobachten ist, wird durch eine leichte seitliche Schwingung des Lautsprechers verursacht. Bei einer Vergrößerung der Amplitude kann man auch die beschriebenen Eruptionen und das Entstehen von Tochterhäufchen beobachten.

Bringt man einen Finger ganz dicht an ein Häufchen heran, ohne dabei die Platte zu berühren, bewegt sich das Häufchen auf ihn zu. Man kann es so langsam über die Platte führen und an einem beliebigen Ort wieder absetzen. Die Staubansammlungen können also an jeder beliebigen Stelle der Platte existieren. Damit handelt es sich nicht um Chladnische Klangfiguren, denn die existieren nur entlang ganz bestimmter Linien auf der Platte, der Schwingungsknoten (vergleiche "Die Physik der Pauke" von Thomas D. Rossing, Spektrum der Wissenschaft, Januar 1983, Seite 56).

Die Entstehung der Häufchen ist vielmehr ein klassisches Beispiel für Strukturbildung durch Selbstverstärkung: Betrachten wir eine Schicht aus mehreren Lagen von Staubkörnern, die auf der Platte liegen. Die untersten werden von der Platte mit Energie versorgt und in heftige Bewegung versetzt. Einen Teil ihrer Energie geben sie bei Stößen an die Körner der nächsthöheren Schicht weiter, die wiederum die folgende Schicht anregen können. Die Stöße zwischen den Teilchen sind aber nie perfekt elastisch, so daß ein Teil der Energie in Wärme umgesetzt wird und für die Bewegung der oberen Teilchen verlorengeht. Je dicker die Schicht ist, desto langsamer sind folglich die obersten Staubkörner. Sie springen weniger weit und brauchen deshalb lange, um an einen anderen Ort der Platte zu wandern. Körnchen auf einer dünnen Schicht können hingegen viel schneller wandern und geraten so leicht in ein schon existierendes Häufchen, wo sie gebremst und eingefangen werden – das Häufchen wächst.

Hat sich irgendwo eine kleine Ungleichmäßigkeit in der Pulververteilung ergeben, wird sie sich auf diese Weise selbst verstärken, bis die Platte in wenige Pulverhügel und große fast pulverfreie Bereiche aufgeteilt ist. Dieser Endzustand ist dann stabil (Bild 6).

Auch hier finden sich die klassischen Kennzeichen des Chaos. Aufgrund der Nichtlinearität der Dynamik entwickeln sich kleine und große Konzentrationsunterschiede des Pulvers unterschiedlich. Kleinste Unterschiede und Unregelmäßigkeiten in der Pulverdicke wachsen an, bis sie das Gesamtsystem bestimmen. Die dann vorhandenen großen Unterschiede sind stabil gegen geringfügige Störungen und werden auch nicht mehr weiter verstärkt. Je größer nämlich die Pulverhügel werden, desto mehr Teilchen verlieren sie, von der fast leergefegten Umgebung kommen aber immer weniger nach. Sind die Teilchenströme in beiden Richtungen gleich groß, ist das System im Gleichgewicht und verändert sich, makroskopisch gesehen, nicht mehr.

Auf der Ebene der einzelnen Teilchen ist das Pulver aber weiter in heftiger Bewegung, die durch einen permanenten Energiefluß durch das System aufrechterhalten wird: Die Platte führt den Teilchen Energie zu, die bei den Stößen zwischen ihnen in Wärme umgewandelt wird und für die Bewegung wieder verlorengeht. Ein derartiger Energiefluß ist für die Ausbildung eines stationären, geordneten Zustands unerläßlich. Denn nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nimmt in einem vollständig abgeschlossenen System ohne Energieaustausch mit der Umgebung die Ordnung ab, bis der Zustand maximaler Unordnung erreicht ist.

Während am Anfang die ganze Platte von Pulver bedeckt war und daher sehr viele Teilchen durch direkten Kontakt mit der Platte Energie aufnehmen konnten, ist der Endzustand durch eine sehr geringe Energieaufnahme charakterisiert. Andererseits sind die Teilchen jetzt im Mittel auch viel langsamer, der Verlust von Energie (Dissipation) durch Stöße ist viel geringer als zu Beginn. Das System entwickelt sich also auf einen Zustand zu, in dem es den Energiefluß und damit die Dissipation im System minimiert. Ein derartiges Optimalitätsprinzip findet sich bei praktisch allen strukturbildenden Systemen.

Wegen der Verstärkung kleinster Konzentrationsunterschiede hängen die Orte, an denen sich Häufchen ausbilden, von winzigen Schwankungen in der anfänglichen Pulververteilung ab. Auch aus scheinbar gleichen Anfangsverteilungen entstehen völlig verschiedene Häufchenmuster. Dennoch kann man globale Charakteristika finden, wie etwa Maximalgröße oder Größenverteilung der Häufchen im Endzustand, die für gleiche Systemparameter (Gesamtmenge des Pulvers, Anregungsfrequenz und so weiter) gleich sind. Bei komplexeren strukturbildenden Systemen muß man oft raffiniertere globale Größen zu Hilfe nehmen, um die Gemeinsamkeiten der unter gleichen Bedingungen gewachsenen Strukturen zu beschreiben.


Dendriten

Unter solchen Gebilden sind die dendritischen Strukturen von besonderem Interesse. Allgemein versteht man darunter fein verästelte, aber schleifenfreie (einfach zusammenhängende) Gebilde; zwischen zwei Ästen gibt es immer nur genau einen Weg (dendron ist das griechische Wort für Baum). Beispiele sind außer dem Ast- und Wurzelwerk von Bäumen Flußsysteme, der arterielle und der venöse Teil unseres Blutgefäßsystems, die fächerförmigen Eisenablagerungen zwischen Platten Solnhofener Kalksteins, aber auch Strebepfeilersysteme für Hallendecken (Bild 7).

Eine Erklärung für manche dendritischen Strukturen liegt im Prinzip der optimalen Materialausnutzung: Gäbe es etwa zwei verschiedene Wege für den Saftstrom vom Stamm zu einem Ast, so wäre einer von ihnen entbehrlich. In der Tat ist Verschwendung dieser Art in der Natur die Ausnahme.

In unserem Experiment geht es um ein gänzlich anderes Prinzip der Bildung dendritischer Strukturen. Preßt man ein Messer flach auf ein Stück kühlschrankkalte Butter und hebt es dann senkrecht ab (wozu einige Kraft erforderlich ist), so kann man auf der Messerklinge fein verzweigte, baumartige Strukturen beobachten. Zur genaueren Untersuchung bringen wir Fett auf einen Kolben, der in einem Zylinder geführt wird. Diese Anordnung vermeidet ein Verkanten der Flächen. Das Fett wird zu einem großen kreisförmigen Fleck flachgedrückt und der Kolben dann durch angehängte Gewichte wieder herausgezogen. Am Rande des Zylinders befindet sich eine kleine Bohrung, durch die Luft in den entstehenden Hohlraum einströmen kann. Bild 8 zeigt das von uns verwendete Gerät und ein Versuchsergebnis (siehe auch das Titelbild): Aus dem strukturlosen Fettfleck ist ein fein verästeltes, komplexes Gebilde geworden.

Ein ähnliches Phänomen tritt gelegentlich beim Offsetdruck auf. Beim Ablösen des Papiers von der Druckwalze kann die Farbe unter entsprechenden Bedingungen (hier unerwünschte) dendritische Muster bilden.

Zum Verständnis dieses Vorgangs muß man die Druckverhältnisse im Fett betrachten. Ist der Druck an zwei benachbarten Stellen verschieden, wirkt eine Kraft auf das Fett; indem sich dieses in Richtung des geringeren Drucks bewegt, wird der Druckunterschied wieder ausgeglichen. Zu Beginn des Experiments herrscht überall im Fett der gleiche Druck wie in der Umgebung. Werden dann die Platten auseinandergezogen, sinkt der Druck im Fett ab, während auf den seitlichen Rand weiter der umgebende Luftdruck wirkt. Im Randbereich des Fettflecks entsteht ein starkes Druckgefälle. Nach diesem einfachen Modell müßte sich also das Fett in der Mitte zusammenziehen.

Eine genaue Analyse zeigt jedoch, daß dieses Verhalten instabil gegen kleinste Störungen ist. Verläuft die Grenzlinie zwischen Luft und Fett irgendwo nicht perfekt kreisförmig, sondern hat eine kleine Einbuchtung, dann spielt sich dort der Druckabfall auf einer viel kürzeren Strecke ab (Bild 9). Die an dieser Stelle auf das Fett wirkende Kraft ist also größer, und die Einbuchtung wächst an. Auch für jeden Teilbereich einer solchen Einbuchtung gilt wieder, daß an den Stellen stärkerer Krümmung nach innen die Kraft größer ist und dadurch hier das Fett schneller zurückgedrängt wird. So entstehen in der großen Einbuchtung weitere kleine, die ihrerseits noch kleinere Buchten bilden, und so weiter. Die Grenzfläche zwischen Fett und Luft wird dadurch immer feiner verästelt. Abermals ist es ein einfacher Selbstverstärkungsmechanismus, der – wiederholt wirksam – komplexe Strukturen schafft.

Kleinste anfängliche Unregelmäßigkeiten bestimmen also, wo die Luft zuerst zwischen die Platten eindringt und wie die entstehende Struktur aussieht. Führt man das Experiment mehrmals unter gleichartigen Bedingungen durch, erhält man jedesmal neue Muster, deren genaue Form nicht vorhersagbar ist, da man die winzigen anfänglichen Abweichungen nicht messen kann. Dennoch sehen sich diese Muster ähnlich. Ändert man aber die Versuchsbedingungen, zum Beispiel durch die Wahl eines weniger zähen Fetts (warme Butter), erkennt man sofort Unterschiede in der Art der Verästelung.

Ähnliches läßt sich bei allen dendritischen Strukturen beobachten. Zwei Eichen, die mit dem gleichen genetischen Material und an vergleichbaren Standorten wachsen, werden zwar keinen Ast und keine Gabelung an der gleichen Stelle haben. Trotzdem erscheinen uns ihre blattlosen winterlichen Silhouetten sehr ähnlich, während wir den Unterschied zu einer Buche oder Birke oder auch zu einer unter anderen Umweltbedingungen gewachsenen Eiche leicht erkennen können. Das menschliche Mustererkennungssystem ist hervorragend darauf eingestellt, nicht die Verzweigungen des Baums mit all ihren Details zu erfassen, sondern globalere Eigenschaften. Um eine wissenschaftliche Analyse derartiger Strukturen durchzuführen, muß man globale Eigenschaften finden, für die ein objektives quantitatives Maß zur Verfügung steht.

Zwei Besonderheiten fast aller dendritischen Strukturen helfen hier weiter: Selbstähnlichkeit und optimale Raumerschließung. Betrachtet man einen vergrößerten Ausschnitt aus einem Dendriten, stellt man fest, daß er der Gesamtstruktur sehr ähnlich ist, insbesondere auf jeder Größenskala die gleiche Art der Verästelung zeigt. Darum werden solche dendritischen Gebilde üblicherweise als selbstähnlich oder skaleninvariant bezeichnet. (Dieser Selbstähnlichkeitsbegriff ist weniger streng als der mathematische; vergleiche "Fraktale – eine neue Sprache für komplexe Strukturen" von Hartmut Jürgens, Heinz-Otto Peitgen und Dietmar Saupe, Spektrum der Wissenschaft, September 1989, Seite 52.)

Des weiteren ist für einen Dendriten typisch, daß die Grenzlinie zwischen ihm und seiner Umgebung Eigenschaften von eindimensionalen und höherdimensionalen Objekten in sich vereint: Topologisch gesehen ist auch ein noch so komplexes Liniensystem immer ein eindimensionales Gebilde; andererseits sind zum Beispiel die näherungsweise eindimensionalen Wurzelfäden einer Pflanze so verzweigt, daß sie ein gewisses Volumen im Boden möglichst vollständig erschließen. Sie sollen also jedem Punkt eines dreidimensionalen Gebiets beliebig nahe kommen. Man kann aus Linien aufgebaute Gebilde konstruieren, die dieses Ziel erreichen und somit Eigenschaften von ein- und dreidimensionalen Objekten in sich vereinen. Der mathematische Begriff der fraktalen Dimension ist ein geeignetes Mittel zur Beschreibung solcher Strukturen (siehe den zitierten Artikel von Jürgens, Peitgen und Saupe).

Vollständige Erschließung ist nur durch immer stärkere Verästelung beziehungsweise bei den Fettfiguren durch Verkrumpelung der Grenzfläche von Luft zu Fett zu erreichen. Meist stehen dem aber andere Forderungen an das System entgegen. Bei Wurzeln ist es die Notwendigkeit, möglichst wenig Ressourcen in die Erzeugung von Wurzelmaterial zu investieren. Je nach Erbanlagen und Umweltbedingungen entwickelt sich das Wurzelsystem einer Pflanze darum entweder zu einem sehr weit verzweigten Gebilde, das Wasser und Nährstoffe im Wurzelbereich fast vollständig erschließt und für das sich eine fraktale Dimension nahe drei ergibt, oder zu einer eher eindimensionalen, Biomasse sparenden Struktur.

Die fraktale Dimension liefert damit eine globale Beschreibungsgröße, die direkt von den die Strukturbildung bestimmenden Mechanismen und Parametern abhängt. Für sie ergibt sich ein einheitlicher Wert, wenn man ein Experiment unter gleichen Bedingungen mehrmals durchführt.

Einige andere physikalische Größen sind ebenfalls Funktionen der fraktalen Dimension; bei unseren Fett-Dendriten gilt das zum Beispiel für die zum Auseinanderziehen benötigte Zeit. Trotz der Unvorhersagbarkeit im Detail kann man also gute Aussagen über globale Eigenschaften des Systems machen.

Ein wesentlicher Parameter unseres Experiments ist die Zähigkeit des verwendeten Fetts. Ist sie hoch (kühlschrankkalte Butter), so entstehen sehr fein verästelte, die Fläche immer noch fast vollständig ausfüllende Strukturen; die fraktale Dimension liegt also nahe bei zwei. Bei weniger zähem Fett (warmer Butter) bilden sich nur noch wenige dicke Äste. Im Extremfall einer Flüssigkeit mit sehr geringer innerer Reibung entstehen nicht mehr verzweigte Muster, sondern sie zieht sich in der Mitte der Platten zu einem Tropfen zusammen. Begründet ist dieses Verhalten im Wechselspiel zwischen Zähigkeit und Oberflächenspannung. Während die Zähigkeit einer Bewegung des Fetts entgegensteht und so die Bildung sehr feiner Luftkanäle begünstigt, muß man die Oberflächenspannung überwinden, wenn man solche feinen Verästelungen mit großer Oberfläche erzeugen will.

Das System verhält sich dabei immer so, daß die gesamte zum Verschieben und zur Schaffung der zusätzlichen Oberfläche des Fetts aufgewandte Energie minimiert wird. Das entspricht wieder dem übergeordneten Prinzip der minimalen Dissipation: Die aufgenommene Energiemenge wird unter den herrschenden Zwangsbedingungen minimiert, und das System koppelt sich so weit wie möglich von dem Energiefluß ab, welcher die Strukturbildung erst ermöglicht.

Auch bei vielen anderen Dendriten stecken hinter der Entstehung derartige Paare widerstreitender Mechanismen, bei denen eine wichtige Systemgröße optimiert wird.


Wozu ist Chaos nutze?

Aus den Experimenten ergeben sich unmittelbar einige Anwendungen der Chaosforschung. Wenn man sich erst einmal damit abgefunden hat, daß für gewisse Systeme langfristige, präzise Prognosen nicht möglich sind, kann man zumindest die Zeiträume für eine zuverlässige Prognose ausloten. Des weiteren ist es möglich und sinnvoll, globale, vom Einzelfall unabhängige Eigenschaften ausfindig zu machen und zu messen. Bei geeigneter Wahl der Darstellung spiegeln sich die einfachen Gesetze in klaren Strukturen wieder. Man entfernt sich also von dem Gedanken, alle Vorgänge bis ins Kleinste quantitativ vorhersagen zu können, und betrachtet statt dessen Größen, die Auskunft über das System als Ganzes geben.

Umgekehrt ermutigt die chaotische Dynamik schon einfachster Systeme, hinter völlig unregelmäßigen Abläufen nach klaren, einfachen Regeln zu fahnden. Die Modellbildung von Systemen mit komplexem Verhalten erhält hier neue Anstöße. Die Empfindlichkeit für kleinste Einwirkungen läßt sich nutzen, um chaotische Systeme gezielt und mit wenig Aufwand zu steuern.

Nichtlineare Selbstverstärkung, die wesentliche Voraussetzung für das Chaos, ist aber auch beim scheinbaren Gegenteil, der Entstehung von Ordnung, der entscheidende Mechanismus. So entdeckt man bei der Bildung komplexer Strukturen aus ungeordneter Materie ganz ähnliche Eigenschaften wie bei chaotischen Systemen: Wieder ist die Entwicklung im Detail unvorhersagbar, und wieder findet man globale Eigenschaften, die von den speziellen Anfangsbedingungen völlig unabhängig sind und in denen sich die Gesetze des Systems direkt widerspiegeln. Auch bei Strukturbildungsprozessen bieten einfache Modelle mit deterministischen, aber nichtlinearen Regeln hervorragende Erklärungsansätze.

Die Grundideen der Theorie sind aber auch in gänzlich anderen Gebieten der Forschung anwendbar. Bei der Modellierung komplexer chemischer Reaktionen oder biologischer Organisationsprozesse ist die Beschreibung durch einfache nichtlineare Gleichungen sehr erfolgreich. In anderen Bereichen, zum Beispiel bei volkswirtschaftlichen Modellen, ist sie zumindest eine interessante Alternative zu den üblichen Beschreibungsversuchen.

Viele Beobachtungen legen außerdem nahe, daß Chaos in der Natur nicht nur allgegenwärtig, sondern geradezu unentbehrlich ist. So ist zum Beispiel der Herzschlag keineswegs exakt periodisch; vielmehr sind seiner Periode leichte chaotische Schwankungen überlagert, die keineswegs zufälliger Natur sind, sondern klaren Gesetzmäßigkeiten folgen. Ein absolut regelmäßiger Herzschlag hingegen ist ein Anzeichen für krankhafte Veränderungen.

Viele der von uns beschriebenen Experimente kann man mit relativ wenig Aufwand nachbauen, und wir möchten unsere Leser ermutigen, dies zu tun. Chaotische Prozesse werden so zu anschaulichen Vorgängen, wobei sie noch an Faszination gewinnen. Die Erfahrungen mit dem Chaos, die man durch solche Versuche gewinnt, können für das Verständnis komplexer Vorgänge in unserer Welt von vielfältigem Nutzen sein.

Literaturhinweise

- Deterministic Chaos. Von Heinz Georg Schuster. 2. Auflage. VCH, Weinheim 1989.

– Die Entdeckung des Chaos. Eine Reise durch die Chaos-Theorie. Von John Briggs und F. David Peat. Hanser, München 1990.

– Fraktale in Filmen und Gesprächen. Von Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe und Cornelia Zahlten. Videofilm, Spektrum Videothek, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1990.

– Chaos ist überall… und es funktioniert. Eine neue Weltsicht. Von Gregor Morfill und Herbert Scheingraber. Ullstein, Frankfurt am Main 1991.

– Zufall und Chaos. Von David Ruelle. Springer, Heidelberg 1992.

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– Chaos – Baustein der Ordnung. Von Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens und Dietmar Saupe. Springer, Heidelberg und Klett-Cotta, Stuttgart 1993.

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– Control of the Dynamics of a Waterjet. Von B. Rückerl, W. Eberl, A. Hübler und E. Lüscher in: Helvetica Physica Acta, Band 61, Seiten 80 bis 83 (1988).

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– Double Pendulum: An Experiment in Chaos. Von R. B. Levien und S. M. Tan in: American Journal of Physics, Band 61, Heft 11, Seite 1038, November 1993.

– Local Control of Chaotic Motion. Von B. Hübinger, R. Dörner und W. Martienssen in: Zeitschrift für Physik B, Band 90, Heft 1, Seiten 103 bis 106, 1993.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 1 / 1994, Seite 72
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