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Mathematische Unterhaltungen

Ist 0,9999 = 1?

In manchen Fällen gibt es zwei verschiedene Dezimaldarstellungen für ein und dieselbe reelle Zahl. Diese wenig geläufige Tatsache kann zu erheblicher Verwirrung führen.
In manchen Fällen gibt es zwei verschiedene Dezimaldarstellungen für ein und dieselbe reelle Zahl. Diese wenig geläufige Tatsache kann zu erheblicher Verwirrung führen.

Der mathematische Fortschritt hängt häufig an einer geeigneten Notation. Die Differenzial- und Integralrechnung nahm einen großen Aufschwung mit dem von Leibniz erfundenen Formalismus für das Rechnen mit Größen wie dx und dem Integralzeichen. Das Arbeiten mit Gleichungen kam erst richtig in Gang, als diese nicht mehr in Worten, sondern mit den heute üblichen Rechenzeichen geschrieben wurden. Und die weitaus meisten Europäer lernten das Rechnen mit ganz gewöhnlichen Zahlen erst, als sie die Zahlzeichen der Römer durch das indisch-arabische Stellenwertsystem ersetzten. Wer je versucht hat, zwei größere römische Zahlen schriftlich zu multiplizieren, weiß zu schätzen, wie sehr unsere gewöhnliche Schreibweise das Denken vereinfacht. Zweifellos hätten sich ohne sie weder die Wissenschaft noch der Handel oder die moderne Industrie entwickeln können.

Manchmal allerdings kann eine eigentlich segensreiche Notation hartnäckige Verwirrung stiften. Das gilt, zumindest auf den ersten Blick, für das Problem, um das es hier gehen soll: "Stimmt es, dass 0,999… = 1 ist?"

Der Ausdruck 0,999… bezieht sich offensichtlich auf die Dezimaldarstellung reeller Zahlen. Die Pünktchen am Ende deuten hier an, dass die Folge der Ziffern 9 sich ohne Ende fortsetzt. Das hat nur dann Sinn, wenn man die Idee akzeptiert, dass jede beliebige unendliche Folge von Ziffern mit einem Komma wie beispielsweise 192,252525… eine eindeutig definierte Zahl darstellt. Das soll später noch präziser ausgeführt werden …

April 2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft April 2017

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  • Quellen

Błaszczy, P. et al.: Ten Misconceptions from the History of Analysis and their Debunking. In: Foundations of Science 18, S. 43–74, 2013

Blay, M.: Deux moments de la critique du calcul infinitésimal: Michel Rolle et George Berkeley. In: Revue d‘histoire des sciences 39, S. 223–253, 1986

Katz, K., Katz, M.: Zooming in on Infinitesimal 1–.9… in a Post-Triumvirate Era. In: Educational Studies in Mathematics 74, S. 259–273, 2010

Katz, M., Leichtnam, E.: Commuting and Noncommuting Infinitesimals. In: The American Mathematical Monthly 120, S. 631–641, 2013