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Sangaku: Japanische Geometrie

Während der nationalen Isolation Japans von 1639 bis 1854 hat sich eine einheimische Mathematiktradition entwickelt. Ihre Dokumente sind die sangaku, kunstvoll verzierte Holztafeln, in die geometrische Probleme eingraviert sind. Sie wurden an die Decken von Schreinen und Tempeln gehängt.

Kaum eine der zahllosen Bräuche und Traditionen dieser Welt ist von solcher Eleganz und Schönheit wie die der sangaku, der japanischen Tempelgeometrie.
Von 1639 bis 1854 lebte Japan in strenger, selbst auferlegter Isolation von der abendländischen Welt. Jeder Kontakt, jeder wissenschaftliche Ideenaustausch mit dem Westen wurde wirksam unterdrückt. Während dieser Zeit erblühte eine besondere Art einheimischer Mathematik.
Ihre Anhänger, offenbar Ritter (Samurai), Kaufleute und auch Bauern, befaßten sich mit einer breiten Vielfalt geometrischer Probleme. Sie pflegten die Resultate ihrer Bemühungen auf sorgsam farbig bemalten Holztafeln niederzulegen und diese an die Decken religiöser Kultstätten und Tempel zu hängen. Diese sangaku (wörtlich: "mathematische Tafeln") könnten als Zeichen der Verehrung oder der Danksagung an einen inspirierenden Geist gedacht gewesen sein – oder auch als Herausforderung an andere Gläubige: "Löse dieses Problem, wenn du kannst!"
In den sangaku geht es in erster Linie um die klassische euklidische Geometrie, allerdings mit völlig anderen Aufgaben, als hierzulande in der Schule üblich sind. Kreise, Ellipsen, Kreise in Ellipsen und umgekehrt spielten eine weitaus wichtigere Rolle als im Westen.
Einige der Aufgaben sind so einfach, daß ein Erstkläßler sie lösen könnte. Andere dagegen sind nahezu unlösbar, und jeder moderne Geometer würde zu außergeometrischen Mitteln etwa aus der linearen Algebra oder der Analysis Zuflucht nehmen. In manchen sind Ergebnisse westlicher Forschung vorweggenommen. Bemerkenswerterweise sind die europäischen Urheber dieser Sätze – mit Ausnahme von René Descartes (1596 bis 1650) – auch unter Mathematikern kaum bekannt. Giovanni Francesco Malfatti (1731 bis 1807) fand 1803 eine Konstruktion, drei Kreise überlappungsfrei so in ein rechtwinkliges Dreieck zu packen, daß sie einander und die Seiten des Dreiecks berühren; der Chemiker Frederick Soddy (1877 bis 1956) fand eine Art Halsband aus sechs Kugeln um ein Paar größerer Kugeln (siehe die Aufgabe auf Seite 84) und Descartes eine Formel für den Radius eines Kreises, der drei gegebene Kreise berührt.
Die meisten Aufgaben wären heute unter Unterhaltungs- oder Schulmathematik einzuordnen. Viele der Tafeln sind so schön, daß sie als Kunstwerke gelten können.

Den Göttern zu Gefallen

Wer hat erstmals ein sangaku geschaffen, und wann? Die Frage ist leichter gestellt als beantwortet. Die japanische Tradition, Tafeln an Schreinen aufzuhängen, ist viele hundert Jahre älter als die der sangaku. In der einheimischen Religion Japans, dem Shintoismus, gibt es "achthundert Myriaden Götter", die kami. Weil nach der Überlieferung die kami Pferde lieben, brachten diejenigen Gläubigen, die dem Schrein kein lebendes Pferd opfern konnten, ersatzweise ein entsprechendes Bild auf einer Holztafel dar. Deshalb finden sich Pferde auf vielen Tafeln aus dem 15. Jahrhundert und früheren Zeiten.
Die älteste noch erhaltene sangaku-Tafel stammt aus dem Jahre 1683 und wurde im Bezirk Tochigi gefunden. Eine andere aus Kioto läßt sich auf das Jahr 1686 datieren, eine dritte auf 1691. In dem Reisetagebuch des Mathematikers Kazu Yamaguchi aus dem 19. Jahrhundert ist von einer noch älteren – mittlerweile verlorengegangenen – Tafel von 1668 die Rede.
Vermutlich geht also die Tradition der sangaku auf die zweite Hälfte des 17. Jahrhunderts zurück. Im Jahre 1789 wurde die erste Sammlung von typischen sangaku-Aufgaben in Buchform veröffentlicht; weitere Sammlungen folgten im Verlauf des 19. Jahrhunderts. Die Bücher sind handgeschrieben oder mit Holzschnitten gedruckt und von bemerkenswerter Schönheit. Gegenwärtig sind noch mehr als 880 Holztafeln erhalten, mehrere hundert weitere in den Sammlungen zitiert. Nach dem heutigen Bestand zu schließen, waren sie ziemlich gleichmäßig über Japan verteilt, in ländlichen Gegenden ebenso wie in städtischen, in Shinto-Schreinen etwa doppelt so häufig anzutreffen wie in buddhistischen Tempeln.
Die meisten sangaku enthalten mehrere Theoreme – meistens nur die Ergebnisse ohne Beweis – und sind farbenprächtig bemalt. Typischerweise findet man auf den Tafeln auch den Namen des Gebers und das Datum der Widmung.
Nicht alle Aufgaben beschäftigen sich mit Geometrie. Manche fragen nach dem Volumen krummflächig begrenzter Körper und erfordern deshalb eigentlich die Infinitesimalrechnung, die es zu Beginn der japanischen Isolation in Europa noch nicht gab. Welche Mittel die japanischen Mathematiker zur Verfügung hatten, ist deshalb eine interessante Frage, der ich weiter unten nachgehen werde. Auf anderen Tafeln geht es um diophantische Probleme, das heißt algebraische Gleichungen, deren Lösungen ganzzahlig sein sollen.
Die sangaku sind mit der Zeit fast in Vergessenheit geraten. Nur wenige Forscher halten das Interesse an der traditionellen japanischen Mathematik aufrecht, darunter Hidetoshi Fukagawa, promovierter Mathematiker und Lehrer an einer höheren Schule im Bezirk Aichi (ungefähr auf halbem Weg zwischen Tokio und Osaka). Auf der Suche nach Anregungen für seinen Unterricht stieß er vor ungefähr 30 Jahren auf ein altes Buch, in dem die mathematischen Tafeln erwähnt waren. Da er noch nie davon gehört hatte, reiste er durch ganz Japan, um sie zu studieren. Er hat dabei eine Sammlung von Büchern zusammengetragen, in denen es nicht nur um die sangaku, sondern um traditionelle japanische Mathematik überhaupt geht.
Die Tafeln sind in Kambun geschrieben, einer alten Form des Japanischen, die dem Chinesischen eng verwandt ist. Kambun spielt dieselbe Rolle wie das Lateinische in Europa: Wissenschaftliche Werke der Edo-Zeit (1603 bis 1867) sind in dieser Sprache verfaßt. Nur wenige Japaner können sie heute noch flüssig lesen, und Fukagawa mußte sie eigens für seine Forschungen erlernen. Inzwischen wird er um Entzifferung gebeten, sowie Tafeln neu entdeckt werden. Gemeinsam mit Dan Pedoe, einem emeritierten Mathematikprofessor an der Universität von Minnesota in Minneapolis, hat Fukagawa 1989 die erste englischsprachige sangaku-Sammlung veröffentlicht. Aus ihr stammen die meisten Beispiele dieses Artikels.

wasan und yosan

Worin wurzelt die Tradition der sangaku? Von den Anfängen der japanischen Mathematik weiß man sehr wenig. Gut dokumentiert ist nur, daß schon sehr früh eine Exponentenschreibweise entwickelt worden war, vergleichbar mit der des Griechen Archimedes (287 bis 212 vor Christus). Genauere Kenntnisse hat man erst ab der Mitte des 6. Jahrhunderts nach Christus, als der Buddhismus und mit ihm die chinesische Mathematik nach Japan kam. Aus Schulbüchern, die zu Beginn des 8. Jahrhunderts verwendet wurden, schließen Historiker, daß Japan mit dem Buddhismus auch die großen chinesischen Klassiker über Arithmetik, Algebra und Geometrie importiert hat.
Nach der Überlieferung ist das älteste dieser Werke das Chou-pei Suan-ching aus dem 6. Jahrhundert oder noch früherer Zeit; es enthält ein Rechenbeispiel für den Satz des Pythagoras und eine Skizze, mit der man diesen Satz häufig beweist.
Ein fortgeschrittenerer Wissensstand findet sich im Chiu-chang Suan-shu, das als das einflußreichste chinesische Mathematikbuch gilt. Es beschreibt Methoden zur Flächenberechnung von Dreiecken, Vierecken, Kreisen und anderen geometrischen Figuren und enthält einfache Textaufgaben von der Art, die auch heutzutage vielen Schülern Kopfzerbrechen machen: "Fünf Ochsen und zwei Schafe kosten acht Goldstücke, zwei Ochsen und acht Schafe kosten acht Goldstücke; wie hoch ist der Preis für jedes einzelne Tier?"
Die Entstehungszeit des Chiu-chang ist ebenfalls unsicher; aber vermutlich stammt der größte Teil aus dem 3. Jahrhundert vor Christus. Wenn das zutrifft, handelt es sich möglicherweise um das früheste Dokument, in dem negative Zahlen und quadratische Gleichungen vorkommen. (Manche Historiker sind der Auffassung, daß die Ägypter sich schon im 3. Jahrtausend vor Christus mit quadratischen Gleichungen beschäftigt haben.)
Dem Einfluß der chinesischen Kultur zum Trotz schlug die Mathematik in Japan zunächst keine Wurzeln. Vielmehr versank das Land, annähernd zeitgleich mit dem europäischen Mittelalter, in eine dunkle Ära. Gelehrsamkeit wurde – wie in den Klöstern Europas – nur noch in den buddhistischen Tempeln gepflegt, und die Mathematik verfiel: Nach einigen Quellen gab es während des Ashikaga-Shogunats (1338 bis 1573) kaum einen Menschen in ganz Japan, der die Kunst des Dividierens beherrschte.
Erst ab dem Beginn des 17. Jahrhunderts sind wieder Aktivitäten japani-scher Mathematiker dokumentiert. Einer von ihnen war Kambei Mori, der um 1600 wirkte. Sein einziges überliefertes Werk ist ein schmales Bändchen; aber man weiß, daß er zur Entwicklung und Verbreitung arithmetischer Berechnungsmethoden auf dem soroban, dem japanischen Abakus, maßgeblich beigetragen hat. Das älteste erhaltene Buch, das substantielle Mathematik enthält, stammt von einem Schüler Moris, Koyu Yoshida (1598 bis 1672). Es trägt den Titel Jinko-ki ("Kleine und große Zahlen"), wurde 1627 veröffentlicht und handelt auch von Rechenoperationen auf dem soroban. Jinko-ki war so einflußreich, daß der Titel des Buches im Japanischen häufig als Synonym für Arithmetik benutzt wurde und die Japaner sich vorrangig mit diesem Zweig der Mathematik – im Gegensatz etwa zur Logik – beschäftigten.
Das Japanische hat ein eigenes Wort, wasan, für die einheimische Mathematik im Gegensatz zu yosan, der westlichen Form dieser Wissenschaft. Soweit es überhaupt sinnvoll ist, bestimmten Personen die Begründung von wasan zuzuschreiben, gebührt diese Ehre wohl Mori und Yoshida.

Eine Zeit kultureller Blüte

Korrekter ist es allerdings, die japanische Mathematik als Ergebnis einer kollektiven Anstrengung aufzufassen. Im Jahre 1639 verhängten die Machthaber zur Festigung ihrer Führungsrolle die offizielle Isolation Japans (sakoku) gegen ausländische Einflüsse (siehe auch "Wie das Alphabet nach Japan kam" von Florian Coulmas, Spektrum der Wissenschaft, November 1994, Seite 90). Die Regierung verbot ausländische Literatur und Reisen ins Ausland, verfolgte die Christen und sperrte die Häfen für spanische und portugiesische Schiffe. Viele dieser Einschränkungen hatten Bestand, bis 1854 Commodore Matthew C. Perry mit US-amerikanischen Kriegsschiffen die Isolation gewaltsam beendete.
Die Abschließung hatte nicht nur negative Folgen. Kunst und Kultur blühten im späten 17. Jahrhunderts so prächtig auf, daß diese Jahre mit dem Namen genroku ("Renaissance") bezeichnet werden. In dieser Zeit entwickelte sich das Kurzgedicht Haiku zu einer Kunstform; das No- und das Kabuki-Theater erreichten den Zenit ihrer Entwicklung, und Ukiyo-e entstand, die bürgerliche Genremalerei (wörtlich: "Malerei der vergänglichen Welt"). Die Traditionen der Teezeremonie und der Blumenarrangements gelangten zur Vollendung.
Gleichzeitig erlebte auch die Mathematik eine Renaissance dank Kowa Seki (1642 bis 1708). Glaubt man populären Erzählungen, so war Seki ein Genie vom Rang eines Isaac Newton (1643 bis 1727) oder Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716), deren jeder allein die Grundlagen der modernen Mathematik geschaffen hat. Diese Einschätzung ist nur schwer durch Tatsachen zu untermauern. Wenn Seki tatsächlich so viel verfaßt hat, wie ihm zugeschrieben wird, ist der größte Teil seines Werkes verlorengegangen. Ohne Zweifel hatte er jedoch viele Schüler, die ihrerseits die Entwicklung der japanischen Mathematik vorantrieben.
Sekis erste – und unbestrittene – Leistung ist seine Theorie der Determinanten, die weitaus umfassender ist und zudem um mindestens ein Jahrzehnt früher kam als das entsprechende Werk seines deutschen Fachkollegen Leibniz. Für unser Thema interessanter, aber von zweifelhafter Urheberschaft sind die Methoden zur Lösung von Gleichungen höheren Grades – ein Hauptthema der damaligen japanischen Mathematik; eine dieser Gleichungen war vom Grad 1458. Die dritte Leistung, die zuweilen Seki zugeschrieben wird, dürfte ebenfalls für die sangaku relevant sein: das Kreisprinzip (enri).
Es ist eng verwandt mit der Exhaustionsmethode, welche die griechischen Mathematiker Eudoxos (um 400 bis um 347 vor Christus) und Archimedes zur Berechnung der Kreisfläche entwickelten. Während diese den Kreis durch n-seitige Polygone approximierten, wird er im enri in n Rechtecke zerlegt; entsprechend unterscheiden sich die Grenzprozesse voneinander.
Gleichwohl ist enri eine primitive Form der Integralrechnung, die später auch auf andere Figuren, insbesondere Sphären und Ellipsen, erweitert wurde. Während dieser Zeit hat sich auch eine Art Differentialrechnung entwickelt. Es ist denkbar, daß enri und vergleichbare Techniken bei der Lösung von sangaku-Aufgaben eingesetzt wurden; denn heute würde man diese Probleme mit Hilfe der modernen Analysis angehen.

Kugeln in Ellipsoiden

Zu Sekis Lebzeiten wurden die ersten Bücher über enri veröffentlicht, und die ersten sangaku entstanden. Höchstwahrscheinlich ist dieses Zusammentreffen kein Zufall. Die Nachfolger von Yoshida und Seki und die Kunst des wasan müssen einander beeinflußt haben. Fukagawa glaubt, daß Seki als offizieller Hofmathematiker auf sangaku-Tafeln stieß und diese ihn zu weiteren Forschungen anregten. Möglicherweise ist das nur eine Legende. Immerhin wurden im nachfolgenden Jahrhundert Bücher veröffentlicht, die sangaku-typische Probleme behandelten, etwa in Dreiecke einbeschriebene Kreise und in Pyramiden oder Ellipsoide einbeschriebene Kugeln. Vermutlich war die spezielle Ausrichtung von wasan und insbesondere seiner Ausprägung sangaku unmittelbare Folge der nationalen Absonderungspolitik.
Wie vollständig war diese Isolation? Abgesehen von den Holländern, die sich in Nagasaki auf Kyushu, der südlichsten aller japanischen Inseln, aufhalten durften, wurden alle westlichen Kaufleute des Landes verwiesen. Andererseits waren die Japaner selbst in ihrer Bewegungsfreiheit stark eingeschränkt. Eine schlichte Auslandsreise galt als Hochverrat und wurde mit der Todesstrafe geahndet. Wenn es Lücken in dieser Absperrung gab, waren sie minimal, und auswärtige Ideen können die japanische Mathematik nicht nennenswert beeinflußt haben.
Die Situation änderte sich erst im 19. Jahrhundert, als wasan allmählich von yosan durchsetzt wurde. Aus dieser Zeit stammen Manuskripte, die in einer seltsamen Mischung aus Text in Kambun und westlicher mathematischer Notation geschrieben sind. Nach dem Ende der Isolation 1867 und dem darauffolgenden Zusammenbruch des Tokugawa-Shogunats gab die neue Regierung die einheimische Mathematik zugunsten der westlichen auf. Die Tradition des Aufhängens von Holztafeln wurde zwar zum Teil bis in unser Jahrhundert fortgesetzt; einige wenige sangaku-Tafeln sind weniger als zehn Jahre alt. Aber fast alle Probleme aus diesem Jahrhundert sind Plagiate. Wer also sind die Urheber der sangaku? Sind die so sorgsam auf Holztafeln niedergelegten mathematischen Sätze das Werk von professionellen Mathematikern oder Amateuren? Das vorhandene Quellenmaterial ist dürftig.
Das Standardwerk von David E. Smith und Yoshio Mikami, "A History of Japanese Mathematics", erwähnt nur wenige sangaku. Es verweist auf die Sammlung Shimpeki Samo ("Mathematische Probleme, aufgehängt vor den Tempeln") aus dem Jahre 1790, die der Mathematiker Kagen Fujita veröffentlicht hat, und zitiert eine Tafel, die neben dem Problem auch folgenden Zusatz enthält: "Herrschaftsbereich von Kakegawa in der Provinz Enshu, dritter Monat des Jahres 1795, Sonobei Keichi Miyajima, Schüler des Sadasuke Fujita aus der Schule des Seki." Mikami berichtet in seinem Buch "Development of Mathematics in China and Japan" vom "Problem des Gion-Tempels", das von Enkyo Tsuda, einem Schüler des Enri Nishimura, am Gion-Tempel in Kioto befestigt wurde. Schließlich deutet auch die Tatsache, daß die Tafeln in der Hochsprache Kambun geschrieben sind, auf Urheber aus einer gebildeten Klasse.
Dagegen spricht einerseits, daß viele der Aufgaben elementar und in wenigen Zeilen zu lösen sind. Ein professioneller Mathematiker hätte so etwas wohl nicht veröffentlicht. Fukagawa hat eine Tafel in der Präfektur Mie gefunden, die als Inschrift den Namen eines Kaufmanns trägt. Auf anderen findet man die Namen von Frauen und von Kindern im Alter von zwölf bis vierzehn Jahren. Die meisten Tafeln stammen nach Fukagawa von Mitgliedern der hochgebildeten Klasse der Samurai, einige wenige wohl von Bauern. Fukagawa weiß zu berichten, daß er vor zehn Jahren das ehemalige Landhaus des Mathematikers Sen Sakuma (1819 bis 1896) besuchte, der die Bauern in den umliegenden Dörfern des Bezirks Fukishima wasan lehrte. Sakuma hatte rund 2000 Schüler.
Diese Art der Unterweisung erinnert an die Edo-Zeit, als es in Japan weder höhere Schulen noch Universitäten gab. Gelehrt wurde damals nur an privaten Schulen oder Tempeln: Lesen, Schreiben und Rechnen mit dem Abakus für jedermann. Die Vermutung liegt nahe, daß die Tafeln so künstlerisch ausgestaltet waren, um das Interesse von Nichtmathematikern zu erregen, die sich ja oft von geometrischen Problemen stärker angesprochen fühlen als von algebraischen.
Wahrscheinlich ist die beste Antwort auf die Frage nach den Urhebern der Tempelgeometrie: jedermann. Fukagawa ist zu der Überzeugung gelangt, daß zu jener Zeit viele Japaner sich für die Mathematik ebenso begeistern konnten wie für Literatur und andere Kunstformen. Es ist ein erhebender Gedanke, daß einige sangaku die Arbeit von Menschen waren, die sich schlicht für die Schönheit der Geometrie begeisterten. Vielleicht hat sich ein Dorfschullehrer nach des Tages Arbeit oder ein Samuraikrieger, nachdem er sein Schwert geschärft hatte, zu seinen Studien zurückgezogen, ein Öllämpchen angezündet und sich in die Welt der Kugeln und Ellipsoide vertieft. Nachdem er die Lösung des Problems gefunden hatte, gönnte er sich vielleicht eine kleine Pause, um die Früchte seiner Arbeit auszukosten. Hatte er sich überzeugt, daß das Theorem wert war, den Göttern dargebracht zu werden, schnitzte er es in eine Holztafel, hängte sie in den Dorftempel und wandte sich der nächsten Herausforderung zu. Besucher sahen die Tafel, bewunderten ihre Schönheit und mögen sich kopfschüttelnd gefragt haben, wie der Autor zu dieser phantastischen Lösung gelangt war. Manche beschlossen vielleicht, sich selbst an der Aufgabe zu versuchen oder sich das Rüstzeug dafür anzueignen. Und einige wenige führten die Ideen weiter.
Man stelle sich nur vor, hierzulande wäre Mathematik eine künstlerisch-sportliche Freizeitbeschäftigung für jedermann – wie Malen, Töpfern oder Bauchtanz…

Literaturhinweise

– A History of Japanese Mathematics. Von David E. Smith und Yoshio Mikami. Open Court Publishing, Chicago 1914. (Auch auf Mikrofilm erhältlich.)
– The Development of Mathematics in China and Japan. Von Yoshio Mikami. Zweite Auflage (Nachdruck). Chelsea Publishing Company, New York 1974.
– Japanese Temple Geometry Problems. Von Hidetoshi Fugakawa und Dan Pedoe. Charles Babbage Research Foundation, Winnipeg (Kanada) 1989.
– Traditional Japanese Mathematics Problems from the 18th and 19th Centuries. Von H. Fugakawa und D. Sokolowsky. Science Culture Technology Publishing, Singapur, im Druck


Aus: Spektrum der Wissenschaft 7 / 1998, Seite 80
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
7 / 1998

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 7 / 1998

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