Die Ergebnisse der mathematischen Logik sind mitunter höchst verwunderlich – aber nie unerforschlich. Wenn in der Schlußkette keine Lücken sind, muß die Folgerung zutreffen, auch wenn sie der Vorstellung zuwiderläuft; man denke nur an die 40 rachsüchtigen Ehefrauen aus der Rubrik des letzten Monats. Im September 1998 schickte mir Stephen M. Omohundro aus Palo Alto (Kalifornien) ein Rätsel, das genau in diese Kategorie fällt. Es zirkuliert schon seit mindestens zehn Jahren, aber Omohundro hat sich eine Variante mit überraschend verwickelter Logik ausgedacht.

Hier zunächst die Originalversion. Zehn Piraten haben 100 Goldstücke erbeutet und wollen den Schatz teilen. Sie sind demokratisch, aber auf Piratenart. Für die Verteilung der Beute gilt folgendes Verfahren: Der wildeste Pirat schlägt einen Verteilungsschlüssel vor, und über diesen Vorschlag wird abgestimmt. Der Vorschlagende ist stimmberechtigt. Wenn 50 oder mehr Prozent aller Piraten dafür stimmen, ist der Vorschlag angenommen und wird in die Tat umgesetzt. Wenn nicht, wird der Vorschlagende über Bord geworfen und das Verfahren mit dem nächstwilden Piraten wiederholt.

Für jeden Piraten ist es eine besondere Freude, einen seiner Kameraden über Bord zu werfen, aber wenn er die Wahl hat, sind ihm kalte, harte Taler doch lieber. Und natürlich will niemand selber über Bord gehen. Alle Piraten denken rational und wissen, daß alle so denken. Außerdem sind keine zwei Piraten gleich wild. Es gibt eine genau definierte Hackordung, und alle kennen sie. Die Goldstücke sind unteilbar, und Nebenabreden gibt es nicht, weil keiner dem anderen traut. Jeder ist sich selbst der Nächste.

Welchen Vorschlag sollte der wildeste Pirat machen, um möglichst viel Gold zu ergattern? Der Einfachheit halber numerieren wir die Piraten nach aufsteigender Wildheit. Der feigste erhält die Nummer 1, der zweitfeigste die Nummer 2 und so weiter. Der wildeste Pirat erhält also die höchste Nummer, und das Vorschlagsrecht geht stets auf den Piraten mit der nächstniedrigeren Nummer über – bis die Annahme eines Vorschlags dem grausamen Spiel ein Ende macht.

Alle solchen Spiele analysiert man am besten von hinten nach vorne. Wenn kaum noch Piraten da sind, ist leicht zu sehen, welche Entscheidungen gut und welche schlecht sind. Dann kann man diese Kenntnis zur Analyse des vorletzten Falles einsetzen, und so weiter. Von vorne anzufangen, also in der Reihenfolge, in der die Entscheidungen wirklich getroffen werden, führt nicht weit, denn es geht immer um die Frage "Was wird der nächste machen, wenn ich dies tue?" Also kommt es auf die Entscheidungen an, die auf die aktuelle folgen. An den vorangegangenen Entscheidungen kann man sowieso nichts ändern.

Nach diesem Rezept ist der erste zu analysierende Fall der mit zwei Piraten P1 und P2. Der wildeste Pirat ist P2, und seine optimale Entscheidung ist klar: 100 Goldstücke für sich und keins für P1. Seine eigene Stimme wiegt 50 Prozent, also wird sein Vorschlag angenommen.

Nun nehmen wir den Piraten P3 hinzu. Wenn sein Vorschlag nicht angenommen wird, geht das Spiel mit zwei Piraten weiter, und P1 bekommt in diesem Falle nichts. P1 weiß das, und P3 weiß, daß P1 das weiß. Also wird P1 für jeden Vorschlag von P3 stimmen, bei dem er überhaupt etwas abbekommt. P3 wird daher P1 so wenig wie möglich, aber mehr als nichts geben. Das ergibt die Verteilung 99 für P3, 0 für P2 und 1 für P1 (Bild links).

Die Strategie für P4 ist ähnlich. Er braucht 50 Prozent der Stimmen, muß also wieder genau einen weiteren Piraten auf seine Seite bringen. Die kleinste Bestechungssumme ist ein Goldstück, und er kann sie P2 anbieten, denn P2 bekommt nichts, wenn P4 durchfällt – im Wortsinn – und das Vorschlagsrecht auf P3 übergeht. Also wird P4 vorschlagen: 99 Goldstücke für sich, 0 für P3, 1 für P2 und 0 für P1. Bei P5 geht es etwas anders, denn er muß zwei Piraten auf seine Seite bringen. Er muß also mindestens zwei Goldstücke für sein Überleben investieren, und die eindeutig bestimmte Verteilungsstrategie ist: 98 Goldstücke für sich, 0 für P4, 1 für P3, 0 für P2 und 1 für P1.

So geht die Analyse weiter. Die Aufgabe, soviel Gold wie möglich einzuheimsen, unter der Nebenbedingung, zu überleben – das heißt die Zustimmung der Mehrheit zu erhalten –, hat eine eindeutige Lösung. Nach diesem Muster wird P10 sich selber 96 Goldstücke reservieren, seinen Kameraden P8, P6, P4 und P2 jeweils ein Goldstück abtreten und den Piraten mit den ungeraden Nummern gar keines. Diese Verteilung löst die Version des Rätsels mit zehn Piraten.



Verschenke alles, um zu überleben



Omohundro stellt nun die gleiche Frage für 500 Piraten, die wiederum 100 Goldstücke zu verteilen haben. Wieder analysiert man von hinten nach vorn, und das eben gefundene Muster bleibt bestehen – aber nur für eine Weile, genauer gesagt, bis zum zweihundertsten Piraten. P200 wird den Piraten mit ungerader Nummer von P1 bis P199 gar nichts anbieten und den Piraten mit gerader Nummer von P2 bis P198 sowie sich selbst je ein Goldstück. Auf den ersten Blick bricht die Argumentation nach P200 zusammen, denn P201 hat nicht genug Goldstücke zum Bestechen. Dennoch hat er ein vitales Interesse daran, nicht über Bord geworfen zu werden. Er wird also vorschlagen, selbst nichts zu nehmen und jedem Piraten von P1 bis P199 mit ungerader Nummer ein Goldstück zu geben.

Auch P202 kann für sich nichts beanspruchen, wenn er am Leben bleiben will. Er muß alle 100 Goldstücke verwenden, um 100 Kameraden zu befriedigen, und diese 100 müssen unter denjenigen sein, die beim Vorschlag von P201 nichts bekommen würden. Da es 101 solche Piraten gibt, ist der Vorschlag von P202 nicht mehr eindeutig bestimmt. Es gibt 101 Möglichkeiten, die Bestechungsmünzen zu verteilen. Das Bild oben zeigt die 101 Piraten, die bei dem Vorschlag von P202 vielleicht etwas bekommen, und die 101 Piraten, die mit Sicherheit nichts abkriegen.

P203 muß 102 Stimmen für seinen Vorschlag zusammenbringen, einschließlich seiner eigenen. Aber er hat offensichtlich nicht genug Goldstücke, um 101 seiner Kameraden auf seine Seite zu bringen. Also fliegt P203 über Bord, einerlei, was er vorschlägt. Das bedeutet aber nicht, daß er in der weiteren Analyse keine Rolle mehr spielt. Im Gegenteil: P204 weiß nun, daß das einzige Ziel von P203 darin besteht, nicht vorschlagsberechtigt zu werden. P204 kann also auf die Stimme von P203 zählen, einerlei was er vorschlägt. Daher kann P204 sein Leben mit knapper Not retten: Seine eigene Stimme, die von P203 und 100 weitere, die er mit je einem Goldstück kaufen kann, machen zusammen 102 Stimmen aus, und das sind die nötigen 50 Prozent. Die Empfänger der Bestechungsmünzen müssen unter den 101 Piraten sein, die bei dem Vorschlag von P202 bestimmt nichts bekommen würden (Bild oben, untere Reihe).

Wie steht es mit P205? Der hat Pech. Auf die Stimmen von P204 und P203 kann er nicht zählen. Wenn sie gegen ihn stimmen, haben sie das Vergnügen, ihn in die Fluten klatschen zu sehen, und können dennoch ihre eigene Haut retten. Also wird P205 über Bord geworfen, egal, was er vorschlägt. Das gleiche Schicksal ereilt P206. Er kann zwar auf die Stimme von P205 zählen, aber das reicht nicht. Ähnlich geht es P207. Er braucht 104 Stimmen – 3 Stimmen plus seiner eigenen und dazu 100 durch Bestechung. Die Stimmen von P205 und P206 sind ihm sicher, aber die eine Stimme mehr, die er braucht, bekommt er nicht. Ruhe in Frieden, P207.

P208 hat dagegen wieder Glück. Auch er braucht 104 Stimmen, aber P205, P206 und P207 werden für ihn stimmen. Zusammen mit seiner eigenen Stimme und 100 bestochenen Piraten reicht das gerade zum Überleben. Die Empfänger des Bestechungsgoldes müssen unter denjenigen sein, die beim Vorschlag von P204 bestimmt nichts bekommen würden. Das sind die Piraten mit gerader Nummer von P2 bis P200 sowie P201, P203 und P204.

Nun zeigt sich ein neues Muster, und das setzt sich ewig fort. Piraten, die mehrheitsfähige Vorschläge machen können (nämlich sich selbst nichts zu geben und 100 Kameraden zu bestechen), sind voneinander durch immer längere Folgen von Piraten getrennt, die über Bord geworfen werden, wenn sie Vorschläge machen müssen – und auf deren Stimme folglich jeder wildere zählen kann. Die Piraten, die diesem Schicksal entgehen können, sind P201, P202, P204, P208, P216, P232, P264, P328, P456 und so weiter, also jene, deren Nummer 200 plus einer Zweierpotenz ist.

Jetzt müssen wir noch entscheiden, wer die glücklichen Empfänger der Bestechungsmünzen sind, nur um sicherzustellen, daß sie diese auch annehmen. Die Lösung ist, wie gesagt, nicht eindeutig. Eine Möglichkeit für P201 ist, den ungeradzahligen Piraten zwischen P1 und P199 Bestechungsmünzen anzubieten. P202 kann die geradzahligen Piraten zwischen P2 und P200 bestechen, P204 wieder die ungeradzahligen, P208 die geradzahligen und so weiter, immer abwechselnd.

Wir schließen, daß bei 500 Piraten und optimaler Strategie die wildesten 44 Piraten über Bord fliegen und dann P456 jedem ungeradzahligen Piraten von P1 bis P199 ein Goldstück gönnt. Welch segensreiche, gleichmacherische Wirkung der Piratendemokratie! Die übelsten Typen werden eliminiert oder können sich allenfalls glücklich schätzen, dem Tod zu entkommen, erhalten aber nichts von der Beute. Nur die 200 größten Feiglinge haben eine Chance, etwas zu erhalten, und nur für die Hälfte von ihnen wird diese Chance wirklich wahr.

"Selig sind die Sanftmütigen, denn sie werden das Erdreich besitzen.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 1999, Seite 122
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