Im Bundesrat von Dunkelstein war soeben der Gesetzentwurf zur Palmöl-Subventionierung abgelehnt worden, und Präsident Friedrich Finsterling tobte. Seine Helfer gaben sich alle Mühe, ihn zu beruhigen, vermieden es aber, ihn noch mehr zu erzürnen, um nicht ihre Pöstchen zu gefährden.

„Ich schätze es überhaupt nicht, eine Abstimmung zu verlieren, die wir eigentlich hätten gewinnen müssen, Schleicher.“

„Natürlich nicht“, beeilte sich sein persönlicher Referent zuzustimmen.

„Sie haben mir hoch und heilig versichert, daß vier der sechs Bezirke zustimmen würden, darunter Schafhausen, der größte.“

„Jawohl, Herr Präsident, und so war es auch.“

„Wie zum Teufel konnten wir dann verlieren?“

„Das liegt an dem gewichteten Wahlsystem“, erklärte Schleicher. „Wie Sie wissen, hat jeder Bezirk eine Stimmenzahl, die ungefähr proportional zur Anzahl seiner Einwohner ist. Schafhausen hat 300000 Einwohner und 10 Stimmen. Die anderen Bezirke – nun, sehen Sie selbst.“ Er kramte die stets griffbereite Tabelle der Stimmenzahlen hervor:



Schafhausen 10

Bonzenberg 9

Drosseldorf 7

Hintereck 3

Winzlingen 1

Insel Kleinau 1



„Insgesamt gibt es 31 Stimmen, also braucht man 16 für die Mehrheit. Schafhausen hat für Ihre Vorlage gestimmt, ebenso Hintereck, Winzlingen und die Insel Kleinau. Aber das macht zusammen nur 15 Stimmen. Bonzenberg und Drosseldorf waren dagegen, und die haben zusammen 16 Stimmen. So haben wir schließlich doch verloren.“

Präsident Finsterling riß sich mühsam zusammen und untersuchte die Zahlen sehr sorgfältig. „Schleicher, die Neuwahl des Präsidenten ist nächsten Monat, und ich möchte keine Wiederholung dieser Schlappe. Wenn wir die Wahlkreiskommission dazu bringen könnten, Schafhausen eine Stimme mehr zu geben und Drosseldorf eine weniger…“

Schleicher schüttelte den Kopf. „Das würde ich nicht empfehlen, Herr Präsident. Bonzenberg und Drosseldorf sind für Ihre Wiederwahl, Schafhausen schwankt noch, und die anderen drei Bezirke sind dagegen. So, wie die Gewichte jetzt sind, können Bonzenberg und Drosseldorf eine Koalition der vier anderen blockieren. Wenn Sie einem der beiden eine Stimme wegnehmen, geht das nicht mehr.“

„Stimmt. Aber was ist mit…“ Es klopfte an der Tür, und herein stürmte mit grimmiger Miene Fritz Fischer, der Vertreter der Insel Kleinau.

„Herr Präsident, diese Farce kann nicht länger so weitergehen!“

„Beruhigen Sie sich! Welche Farce?“

„Dieses sogenannte demokratische Abstimmungssystem. So, wie die Stimmen gewichtet werden, hat die Insel Kleinau überhaupt nichts zu sagen!“

Finsterling blickte verwirrt drein. „Aber Sie haben eine Stimme, ganz entsprechend der Einwohnerzahl. Winzlingen hat auch nur eine Stimme, obwohl es etwas mehr Einwohner hat. Sie haben also pro Einwohner sogar mehr Macht als Winzlingen.“

Die Ohnmacht der Kleinen

„Nein, gar keine, Herr Präsident. Das Ergebnis jeder Abstimmung hängt ausschließlich davon ab, wie die drei größten Bezirke stimmen. Denn je zwei von denen bilden schon eine Mehrheit.“

„Wie bitte?“

„Bei jeder Abstimmung darf jeder Bezirk nur geschlossen mit Ja oder Nein votieren. Also stimmen stets mindestens zwei der drei größten Bezirke gleich ab. Diese beiden haben zusammengenommen in jedem Falle mindestens so viele Stimmen wie Bonzenberg und Drosseldorf, nämlich 16. Das ist aber schon die Mehrheit. Bei jeder Abstimmung käme genau das gleiche heraus, wenn Hintereck, Winzlingen und die Insel Kleinau überhaupt keine Stimme hätten! Ich sage doch, wir sind völlig machtlos!“

Der Präsident dachte darüber nach. „Ich verstehe, was Sie meinen. Aber was soll ich tun?“

„Geben Sie uns noch eine Stimme! Dann könnten wir drei uns mit Schafhausen verbünden und hätten dann wenigstens genauso viele Stimmen wie die beiden anderen zusammen. Oder wenn Sie auch Winzlingen noch eine Stimme gäben, könnten wir eine mehrheitsfähige Koalition bilden!“

Schleicher kritzelte emsig an einer neuen Tabelle:



Schafhausen 10

Bonzenberg 9

Drosseldorf 7

Hintereck 3

Winzlingen 2

Insel Kleinau 2



„Die Gesamtzahl der Stimmen wäre dann 33“, bestätigte er dann. „Also würden 17 oder mehr für eine Mehrheit ausreichen… Ich verstehe. Nach diesem System könnte eine Koalition von Hintereck, Winzlingen, der Insel Kleinau und Schafhausen gewinnen.“

„Ja! Und auf jeden der drei kleinen Bezirke käme es wirklich an. Das wäre das Gleichgewicht der Kräfte.“

Der Präsident griff hastig zum Telephon. „Florian“, fragte er seinen speziellen Freund, den Vorsitzenden der Wahlkreiskommission, „könnt ihr die Grenzen neu ziehen, so daß Winzlingen und Insel Kleinau je eine zusätzliche Stimme erhalten?“

Florian Fuscher mußte bedauern. „Vielleicht ginge es bei Winzlingen“, meinte er. „Aber die Insel Kleinau ist 20 Kilometer vom Festland entfernt. Es wäre schwierig, diese Grenze zu verändern, ohne daß es auffällt.“

„Schade“, sagte der Präsident.

„Unsere Bürgerinnen und Bürger werden das nicht hinnehmen“, verkündete der Vertreter der Insel Kleinau drohend.

„Kann schon sein. Aber wie Sie soeben selbst erklärt haben, können Sie nichts machen, denn Sie sind machtlos“, triumphierte der Präsident. „Stoßen Sie keine Drohungen aus, denen Sie nicht Taten folgen lassen können“, fügte er mit väterlicher Milde hinzu.

„Na ja, es kann Sie doch nicht beglücken, wenn bereits zwei Bezirke von Dunkelstein Sie aus dem Amt werfen können.“

„Das ist ein Argument.“

„Sie sind der Präsident, Herr Finsterling. Irgend etwas wird Ihnen doch einfallen.“

Finsterling studierte wieder die Zahlen, kritzelte eine Weile auf einem Stück Papier und wählte nochmals Fuschers Nummer. „Könnt ihr Schafhausen zwei Stimmen mehr verschaffen?“

„Kein Problem. Die Bezirksgrenze verläuft entlang des Flusses, der viele Schleifen hat. Wir könnten sie ohne großes Aufsehen begradigen.“

„Aber was soll denn der Unfug? Zusätzliche Stimmen für den größten Bezirk können den kleinen Bezirken doch unmöglich einen Anteil an der Macht geben“, wandte der Vertreter der Insel Kleinau ein.

„Doch“, erwiderte der Präsident. „Wenn Schafhausen zwei Stimmen mehr hat, haben Sie wieder Teil an der Macht.“



Schafhausen 12

Bonzenberg 9

Drosseldorf 7

Hintereck 3

Winzlingen 1

Insel Kleinau 1



„Sehen Sie: Die Viererkoalition, die eben noch auf der Verliererseite war, kommt nun auf 17 von 33 Stimmen. Und wieder kann jeder der kleinen Bezirke das Zünglein an der Waage spielen“, sagte Schleicher.

Fischer war verblüfft. „Das ist verrückt. Sie geben Schafhausen mehr Macht, und wie durch ein Wunder fällt für die Insel Kleinau etwas davon ab.“

Schleicher lachte trocken. „Nein, Herr Fischer, wir geben Schafhausen nicht mehr Macht, sondern mehr Stimmen. Wie Sie bereits bemerkt haben, ist das nicht dasselbe. Die Theorie der Wahlsysteme ist voll von Paradoxien.“ (Vergleiche Spektrum der Wissenschaft, Januar 1987, Seite 32, und September 1989, Seite 24.)

Formeln zur Macht

Der Päsident sah plötzlich sehr unglücklich aus. „Sie beunruhigen mich. Wenn Macht nicht Stimmen heißt, was dann? Ich muß das wissen“, fuhr er fort, „denn es ist Macht, mit der man Wahlen gewinnt. Oder verliert. Ich will wissen, wo die Macht sitzt und wo die wunden Punkte sind.“

„Wen man bestechen oder erpressen muß“, ergänzte Fischer.

„Das will ich nicht gehört haben“, erwiderte der Präsident und lief puterrot an. „Wenn Sie das außerhalb dieses Büros sagen…“

„Herr Präsident“, wechselte Schleicher schnell und gekonnt das Thema, „was Sie brauchen, ist der Banzhafsche Machtindex.“

„Wen? Was?“

„John F. Banzhaf III ist ein Jurist und bekannter Verbraucheranwalt an der Georgetown-Universität in Washington. Er hat ein neues Maß für die Macht eines Repräsentanten in einem gewichteten Wahlsystem wie unserem angegeben. Die Grundidee ist, daß ein Repräsentant – ein Wähler oder Abgeordneter – nur auf zwei Arten Macht ausüben kann: indem er einer Minderheitskoalition beitritt, die dadurch zu einer Mehrheitskoalition wird, oder indem er eine Mehrheitskoalition verläßt und sie so in eine Minderheitskoalition verwandelt.“

„Ist das nicht dasselbe?“ fragte der Präsident.

„Im Prinzip ja. Wenn man einer Koalition beitritt, verläßt man diejenige, die aus allen anderen besteht. Wir müssen also nur einen Fall betrachten – zum Beispiel die Etablierung einer Mehrheitskoalition. Der Banzhafsche Machtindex für einen bestimmten Repräsentanten ist die Anzahl der denkbaren Koalitionen, in denen er eine entscheidende Rolle spielt.“

„Was genau heißt dabei entscheidende Rolle?“

„Daß die Koalition, um die es geht, mit ihm gewinnen und ohne ihn unterliegen würde. Unser Wahlsystem mit den bisher gültigen Gewichten würde nach Banzhaf mit [16;10,9,7,3,1,1] bezeichnet: Die Anzahl der für eine Mehrheit – genauer gesagt, die absolute Mehrheit – erforderlichen Stimmen ist 16. Die einzelnen Repräsentanten haben die Gewichte 10, 9, 7, 3, 1 und 1. Die Insel Kleinau könnte nur in einer Koalition von genau 16 Stimmen eine entscheidende Rolle spielen. Wenn eine Koalition mehr Stimmen hat, kommt es auf die Insel Kleinau nicht an, und wenn die Anzahl kleiner ist, ist es keine Mehrheitskoalition. Es gibt aber keine Koalition mit genau 16 Stimmen, an der die Insel Kleinau beteiligt ist. Also ist ihr Machtindex gleich 0.“

„Ich sage doch, wir haben nichts zu melden.“

„Und mit dem neuen Vorschlag des Präsidenten? Ich schätze, das wäre als [17;12,9,7,3,1,1] zu bezeichnen.“

„Die Insel Kleinau spielt in jeder Koalition, an der sie beteiligt ist und die genau 17 Stimmen zusammenbringt, eine entscheidende Rolle. Davon gibt es genau zwei, nämlich Schafhausen, Hintereck, Winzlingen und Kleinau (12+3+1+1) und Bonzenberg, Drosseldorf und Kleinau (9+7+1). Der Machtindex der Insel Kleinau ist also gleich 2.“

„Wie steht es mit Schafhausen?“

„Das hat 12 Stimmen, spielt also eine entscheidende Rolle in allen Koalitionen, an denen es beteiligt ist und die zwischen 17 und 28 Stimmen hat, nämlich 17–1+12. Sie können diese Koalitionen durch Probieren alle finden. Es gibt 18 davon, also ist der Machtindex von Schafhausen gleich 18“ (Kasten auf Seite 13).

„Das ist ja interessant!“ entfuhr es dem Inselvertreter. „Deren Bevölkerung wäre also zwölfmal so groß wie unsere, aber deren Macht wäre nur neunmal so groß!“

„Besser als zehnmal so viele Leute und unendlichmal soviel Macht“, ergänzte der Präsident.

„Kann man den Machtindex einfacher berechnen als durch Probieren?“

„Nun, bei vielen Abgeordenten nimmt man besser einen Computer zu Hilfe, und selbst dann muß man sorgfältig vorgehen“, sagte Schleicher. „Aber für kleine Systeme gibt es eine hübsche graphische Methode. Angenommen, das System ist [3;2,1,1]. Das heißt, es gibt drei Wahlmänner. A hat 2 Stimmen, B und C jeweils eine. Und man braucht 3 Stimmen, um zu gewinnen.

Zuerst zeichnet man ein Verbandsdiagramm aller möglichen Koalitionen – aller Teilmengen von {A,B,C} – und verbindet jene durch Kanten, die sich nur um ein Mitglied unterscheiden. Bei drei Wahlmännern ist das Verbandsdiagramm ein Würfel (Bild 2a). Man bezeichnet jede Kante mit dem Namen des Wahlmanns, um den sich die durch die Kante verbundenen Koalitionen unterscheiden (Bild 2b). Schließlich markiert man jede Entscheidungskante; das ist eine Kante, die eine Mehrheitskoalition mit einer Minderheitskoalition verbindet. Der Machtindex eines gegebenen Wählers ist dann die Anzahl der Entscheidungskanten, die seinen Namen tragen. In unserem Beispiel erscheint A an drei Entscheidungskanten, also hat A den Machtindex 3. Entsprechend haben B und C den Machtindex 1.

Man kann auch Verbandsdiagramme für mehr Wähler zeichnen, aber sie sehen ziemlich wirr aus. Das für vier Wähler ist noch ganz nett“ (Bild 3).

Der Präsident lehnte sich in seinem Stuhl zurück. „Nun, Herr Fischer? Was meinen Sie?“

„Ich wäre zufriedener, wenn der Machtindex jedes Bezirks in etwa proportional zur seiner Bevölkerungszahl wäre“, erwiderte der.

„Hmm, interessant“, meinte Schleicher. „Das versucht man in den USA sehr intensiv zu erreichen. Aber es ist nicht so leicht, die besten Gewichte zu berechnen. Die Zahlen werden ziemlich groß, und der Computer muß entsetzlich viele Koalitionen berücksichtigen… Ich will Ihnen zeigen, was 1982 für Tompkins County in New York herauskam. Wie Sie sehen können, ist der Machtindex fast genau proportional zur Bevölkerungszahl“ (Bild 4).

„Wir könnten versuchen, es bei uns ähnlich zu machen“, schlug Fischer vor.

„Vielleicht“, sagte der Präsident. Seine Frau war Großaktionärin bei der Dunkelstein Computer Leasing AG. Das könnte profitabel werden… Da fiel ihm etwas ein. „Haben Sie Untersuchungen über den Machtindex des amerikanischen Präsidenten, Schleicher?“

„Ja. Er ist 40mal so groß wie der eines Senators und 175mal so groß wie der eines Abgeordneten im Repräsentantenhaus.“

„Klingt prima.“

„Andererseits ist der Machtindex des gesamten Kongresses der USA – beide Häuser – zweieinhalbmal so groß wie der des Präsidenten.“

Friedrich Finsterling starrte ihn einen Moment lang an. Dann seufzte er tief auf und blickte Fischer fest ins Auge: „Ich glaube, wir bleiben beim gegenwärtigen System.“


Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 1993, Seite 12
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