Badezimmer-Physik: Zivilisierte Menschen haben darin Erfahrung: Wenn sie nach dem Baden den Stöpsel ziehen, leert sich die Badewanne langsam, sogar sehr langsam, durch ihr verhältnismäßig enges Abflussrohr. Anfangs erkennt man kaum eine Senkung des Pegels. Erst nach längerer Zeit erscheint über dem Abfluss eine Delle im Wasserspiegel. Plötzlich reißt das Wasser auf und bekommt ein tiefes Loch. Ein Hohlwirbel ist entstanden, ein rasch rotierender Wassertrichter, durch den man bis ins Abflussrohr schaut. Schmutzteilchen oder kleine Blasen, die das Wasser mit sich führt, machen die Wasserströmung an seiner Oberfläche sichtbar. Im Sog des Strudels werden sie schneller und verschwinden rasch kreiselnd in dem Wirbelschlauch.

Ansichten über den Ablaufwirbel: Können Sie aus dem Stegreif sagen, ob der Strudel in Ihrer Badewanne wie der Uhrzeiger oder andersherum läuft? Dreht er sich überhaupt immer im gleichen Sinne? Wenn sich der Wirbel mit der Zuverlässigkeit eines Naturgesetzes einstellt, was könnte der Grund dafür sein? In meiner Vorlesung über Physik auf der rotierenden Erde gab es stets Hörer, die behaupteten, das Badewasser strudele auf der Nordhalbkugel in dem gleichen Drehsinn in den Abfluss, wie der Wind auf den computeranimierten Wetterkarten der Fernsehnachrichten um die Tiefdruckgebiete herum weht – entgegen dem Uhrzeiger; "zyklonal" sagen die Meteorologen. Das habe auch den gleichen Grund: die tägliche Drehung der Erde um ihre Achse. Einige Studenten wussten es noch genauer: Die Wirbel am Ablauf würden von der "Corioliskraft" angetrieben, derselben geheimnisvollen Kraft, die uns einen Streich spielt, wenn wir versuchen, uns beim Karussellfahren Bälle zuzuspielen. Gelegentlich gab es am Ende der Vorlesung einen lebhaften Wortwechsel im Hörsaal und Gedränge an der kleinen Spüle des Labortisches, wo besonders Eifrige auf der Stelle ein Experiment improvisierten.

Ein Versuch am Äquator: Wenn Badewannenwirbel von der Drehung der Erde verursacht werden, müssen sie sich – wie die Winde – auf der Südhalbkugel unseres Planeten andersherum, also im Uhrzeigersinn drehen. Was aber geschieht am Äquator? In Singapur (das in unmittelbarer Nähe des Äquators bei nur 1°17´ nördlicher Breite liegt) müsste das Wasser beim Leeren einer Badewanne geradlinig in den Ablauf strömen. Davon hätte man zweifellos gehört. Da sich auch am Äquator Badewannenwirbel einstellen, steht es schlecht um die Theorie von der Corioliskraft. Was aber ist die wirkliche Ursache?

Indirekte Messungen der Erddrehung: Léon Foucault (1819–1868) hatte 1851 im Pariser Panthéon sein berühmtes Pendel zur Schau gestellt und damit einen Nachweis für die Erddrehung geliefert, der ohne den Blick auf Sonne, Mond und Sterne auskommt. Das beflügelte die Fantasie zahlreicher Besucher: Man sah sich auf dem Raumschiff Erde wie auf einem langsam drehenden Karussell durch den Weltraum schweben.

Um Richtung und Geschwindigkeit der Erddrehung durch einen anderen Effekt, eine Strömung, sichtbar zu machen, experimentierte ein halbes Jahrhundert später Ottokar Tumlirz mit dem Ablaufwirbel. Als anerkannter Physiker und korrespondierendes Mitglied der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien fand er großzügige Unterstützung: 1000 Kronen von der Kaiserlichen Akademie und 300 Kronen von der Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und Literatur.

Seine 1908 veröffentlichte Arbeit "Ein neuer physikalischer Beweis der Achsendrehung der Erde" ist die früheste bekannte Dokumentation eines solchen physikalischen Experiments. Tumlirz ließ Wasser aus einem rotationssymmetrischen Behälter durch einen zentralen Abfluss im Bodenblech ausströmen. Um das Spiralmuster der Stromlinien in der Umgebung des Abflusses durch Anfärben mit Methylviolett leichter sichtbar machen zu können, leitete er das Wasser durch einen engen Spalt zwischen zwei horizontalen Glasplatten über dem Boden seines großen zylindrischen Behälters. Durch eine sehr massive Konstruktion suchte er Verformungen durch die Last eines Kubikmeters Wasser klein zu halten. Störende Konvektionsströmungen als Folge unterschiedlicher Wasserdichten schloss Tumlirz dadurch aus, dass er das Wasser auf einer Temperatur von 6,3 °C (nahe den 4 °C bei der größten Dichte) hielt. Nach dem Füllen des Gefäßes ließ er dem Wasser bis zu 40 Stunden Zeit, sich durch seine innere Reibung zu beruhigen und Erinnerungen an frühere Bewegungen zu tilgen.

Der Einfluss der Erddrehung ist kaum messbar ...: Trotz aller Sorgfalt gelang es Tumlirz nur andeutungsweise, die Drehrichtung des Wirbels sichtbar zu machen. Auch spätere Experimente mit Abflusswirbeln konnten nicht mehr als die Richtung der Drehung demonstrieren. Der Einfluss der Erddrehung auf die Strömung ist so gering, dass Störungen infolge von Unsymmetrien der Versuchsanordnung, durch die Restunruhe des Wassers vom Füllen des Behälters, durch eine Öffnungsstörung bei Versuchsbeginn und sogar durch die Ungleichmäßigkeit der Oberflächenspannung oder durch Luftströmungen im Raum ihn mühelos verdecken können. Die Erde dreht sich in vierundzwanzig Stunden einmal um ihre Achse, woraus sich für die Drehung der Horizontebene in unseren Breiten (sagen wir: 49 Grad nördlicher Breite) eine Winkelgeschwindigkeit von weniger als zwei Zehntelgraden in der Minute errechnet. In einem so langsam umlaufenden Karussell würde man mit geschlossenen Augen überhaupt keine Drehung wahrnehmen. Auch der scharfsinnige James Bond könnte in einem Waschbecken am ablaufenden Wasser nicht feststellen, ob er auf die Nord- oder die Südhalbkugel der Erde entführt worden ist.

In der Folgezeit verlagerte sich die experimentelle Forschung an Abflusswirbeln von den großen Fragen der Welt mehr auf Ingenieurprobleme von schlichter Nützlichkeit. Einerseits können Wirbel am Ablaufrohr die Entleerung großer Behälter erheblich verzögern. Andererseits lässt sich die Leerung einer Flasche beschleunigen, indem man die Flüssigkeit in rasche Drehung versetzt, weil durch den entstehenden Hohlwirbel Luft ins Flascheninnere strömt. Man kann auch des Guten zu viel tun und die Flüssigkeit so rasch in Umlauf bringen, dass gar nichts mehr ausströmt.

... aber er existiert! Asher H. Shapiro, ein bekannter Strömungsphysiker am MIT in Cambridge (Massachusetts), griff 1962 das Problem wieder auf. Sein mit allen nur denkbaren Vorsichtsmaßnahmen durchgeführtes Experiment bildet eine eindrucksvolle Szene in einem hervorragenden Schulfilm über das Thema "Vorticity". Shapiro gab dem Wasser beim Einfüllen in den 300 Liter fassenden ruhenden kreisförmigen Tank von 1,60 Meter Durchmesser eine Drehung im Uhrzeigersinn, um auf der sicheren Seite zu sein, und ließ ihm anschließend 24 Stunden Zeit zur Beruhigung, ehe er die Öffnung am fernen Ende eines 6 Meter langen Abflussschlauchs freigab. Der Behälter brauchte 20 Minuten, um vollständig leerzulaufen. Während der ersten 12 bis 15 Minuten dieser Frist war keinerlei Bewegung des Wassers zu beobachten. Danach begann, wie erwartet, eine langsam zunehmende Drehung entgegen dem Uhrzeiger, die sich bis zum Ende des Versuchs auf eine Umdrehung pro drei Sekunden steigerte. "Das ist etwa 30000-mal schneller als die effektive Drehung der Erde in 42° Nord" (dem Breitengrad des Versuchsorts), stellte der Experimentator mit Befriedigung fest. Drei Jahre später wiederholte Lloyd M. Trefethen an der University of Sydney das Experiment auf der Südhalbkugel und fand – wie erwartet –, dass die Erddrehung einen Badewannenwirbel im Uhrzeigersinn hervorruft.

Beschleunigung der Wirbel: Wie auch immer Abflusswirbel entstehen – ob durch die Erddrehung oder durch Unsymmetrien des jeweiligen Experiments –, es muss einen Mechanismus geben, durch den die Wirbel auf viel höhere Geschwindigkeit kommen als ihre Ursache. Vom Tanz und vom Eiskunstlauf kennt man die Pirouette: Mit ausgebreiteten Armen schwenkt die Eisläuferin langsam in die Drehung ein, streckt sich und wirbelt, indem sie die Glieder eng an den Körper heranzieht, mit atemberaubender Geschwindigkeit um die eigene Achse. Sie kann ihre Bewegung mit der geringen Masse ihrer Glieder steuern, weil der Einfluss der Trägheit der Masse in Drehungen mit ihrem Abstand von der Drehachse rasch, genauer: quadratisch, wächst. Als Erster erkannte Hermann von Helmholtz, dass sich Wirbel in einer Flüssigkeit ähnlich verhalten, solange sie nicht, zum Beispiel in der Nähe fester Wände, unter den beherrschenden Einfluss der inneren Reibung geraten.

Bei der Leerung eines zylindrischen Behälters durch einen zentralen Abfluss am Boden wächst in der Strömung nach innen die Winkelgeschwindigkeit w der Wasserteilchen, während sich ihr Drehimpuls pro Masseneinheit, r^2w, nicht oder nur wenig ändert. Daher zirkuliert die Flüssigkeit umso rascher um den Abfluss, je näher sie ihm kommt. Kann man die Reibung vernachlässigen, so wächst die Umdrehungszahl f = w/2p umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands r von der Drehachse durch das Abflussloch. Entsprechend erhöht sich beim Auslaufen die Geschwindigkeit, mit der das Wasser im Behälter zirkuliert, sei sie vom Einfüllen des Wassers verblieben, beim Baden erzeugt oder eben von der Erddrehung verursacht. Startet die Flüssigkeit wie in Shapiros Experiment vom Rand eines auf der Erde ruhenden Behälters von 1,60 m Durchmesser, das heißt im Abstand r0 = 80 cm vom Abfluss, mit der Winkelgeschwindigkeit der Horizontebene von Boston, das sind w0 = 2p sin 42° pro Tag, dann vergrfßert sich ihre Winkelgeschwindigkeit bis zur Ankunft am Rand des Abflusslochs vom Durchmesser 2r=1cm um den Faktor w/w0 = (r0/r)2, das heißt ungefähr 26000-fach. Das ergibt eine Frequenz f = w0r02/(2pr2) = 0,2 pro Sekunde oder einen Umlauf in fünf Sekunden – deutlich langsamer als der Wirbel in der heimischen Badewanne, aber in der Größenordnung zu Shapiros Beobachtungen passend.

Wetterwirbel: Der geringe Einfluss der Drehung der Erde auf einen Badewannenwirbel steht in deutlichem Kontrast zu ihrem beherrschenden Einfluss auf das Wettergeschehen. Das liegt vor allem an der viel größeren Ausdehnung von Großwetterlagen. Strömungen unterschiedlicher Größe und Geschwindigkeit können sich nur dann mechanisch ähnlich verhalten, wenn sie in allen maßstabsunabhängigen Parametern übereinstimmen. Die maßgebliche dimensionslose Kennzahl für Strömungen auf der rotierenden Erde ist die Rossbyzahl Ro = U/(OL), deren Bestandteile typische Werte für die Strömungsgeschwindigkeit U, die Winkelgeschwindigkeit O der Drehung der Horizontebene sowie eine Länge L sind. Die Rossbyzahl setzt die konvektive Beschleunigung beim Flüssigkeitstransport in der Strömung mit der Coriolisbeschleunigung infolge der Drehung der Erde in Beziehung. Je größer die Rossbyzahl, desto kleiner ist der Effekt der Erdrotation auf die Bewegung. Für den Badewannenwirbel (L »1 cm, U » 10 cm/s) ist sie größenordnungsmäßig 10E6-mal so groß wie für das Tiefdruckgebiet (L » 1000 km, U » 10 m/s). Im Gegensatz dazu sind Windhosen (L »1 m, U »5 m/s) und Tornados (L » 50 m, U » 150 m/s) an der Erdoberfläche gespiegelte Pendants des Badewannenwirbels. In ihnen lässt aufsteigende Luft aus der Umgebung neue Luft von allen Seiten ins Zentrum nachströmen und konzentriert ihren Drehimpuls im Wirbelkern.

Literaturhinweise


Vorticity. Von Asher H. Shapiro in: Illustrated Experiments in Fluid Mechanics. The NCFMF Book of Film Notes, S. 63. MIT Press, 1972.

The Bath-Tub Vortex in the Southern Hemisphere. Von Lloyd M. Trefethen et al. in: Nature, Bd. 207, 4. September 1965, S. 1084.

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Die Kräfteverhältnisse im Wasserwirbel


Auf ein kleines Volumen Flüssigkeit, das in einem stationären Wirbel mit der ortsabhängigen Geschwindigkeit v(r) im Abstand r um die Drehachse kreist, wirkt außer seinem Gewicht rho g (Dichte rho, Schwerebeschleunigung g) die Zentrifugalkraft rho v^2/r (in einem Bezugssystem, das sich mit dem Volumenelement bewegt). Die Resultierende beider Kräfte steht senkrecht auf jeder Fläche konstanten Drucks, insbesondere auf der Wasseroberfläche. Je rascher das Wasser rotiert, desto steiler ist an dieser Stelle die Wasserwand des Wirbels.

Wie aber hängt die lokale Geschwindigkeit v des Wassers vom Abstand r ab? Wenn das Wasser mit dem Gefäß starr rotieren würde (wie in Newtons Eimerversuch) und daher die Winkelgeschwindigkeit w überall den gleichen Wert hätte, wäre v proportional zu r und die Oberfläche ein nach oben geöffnetes Rotationsparaboloid. Shapiro setzte kleine Schwimmer auf die Wasseroberfläche und beobachtete, dass sie mit dem Wasser um den Ablauf kreisten, ohne sich dabei um sich selbst zu drehen. Das beweist, dass der Ablaufwirbel an der Oberfläche näherungsweise ein "Potenzialwirbel" ist. In ihm herrscht die Bahngeschwindigkeit v(r) = C/r mit einer Konstanten C, die gleich dem Drehimpuls der Masseneinheit des Wassers ist, und damit die Winkelgeschwindigkeit w=v/r=C/r^2. Die Wasseroberfläche des Wirbels bildet, bezogen auf den Wasserspiegel in weiter Entfernung als Nullniveau, das Rotationshyperboloid z=–C^2/2gr^2. Gibt man dem Hohlwirbel großen Drehimpuls, kann er am Boden des Behälters einen größeren Durchmesser als die Ablauföffnung haben. Dann braucht man sich nicht zu wundern, dass kein Wasser ausläuft.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 12 / 2000, Seite 120
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