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Mathematische Unterhaltungen

Wunderwelt der gleichkantigen Polyeder

Stellt man an einen von ebenen Flächen begrenzten Körper einzig die Bedingung, dass alle seine Kanten gleich lang sein sollen, dann ergibt sich eine Vielfalt von Formen, die nur mit äußerster Mühe im Zaum zu halten ist.
Gleichkanter mit der Symmetrie des Würfels von Enrico Bernal

Vor wenigen Jahren verkündete ein Psychologe namens Stan Schein von der University of California in Los Angeles, er habe eine neue Klasse einigermaßen regelmäßiger Körper vollständig beschrieben: die "kon­vexen, gleichseitigen Polyeder mit platonischer Symmetrie". Das Ergebnis ging durch die Presse und wurde auch in dieser Zeitschrift gefeiert. Inzwischen ist klar, dass die Beteiligten, darunter ich selbst, den Mund etwas zu voll genommen haben. Nicht dass an Stan Scheins Leistung selbst etwas auszusetzen gewesen wäre. Aber die Möglichkeiten sind mit seiner Entdeckung alles andere als ausgeschöpft. Das Sortiment der geometrischen Körper mit den genannten Eigen­schaften ist über die Maßen reichhaltig.

Es geht um Polyeder, also räumliche Körper, die von ebenen Flächen begrenzt sind. Manche Fachleute bezeichnen mit gutem Grund diese Flächen als die "Seiten" des Polyeders. Entsprechend wären unter "gleichseitigen Polyedern" solche mit lauter gleichen Flächen zu verstehen – was hier aber nicht gemeint ist. Vielmehr geht es darum, dass alle Kanten gleich lang sind, weshalb im Folgenden von gleichkantigen Polyedern oder kurz Gleichkantern die Rede sein soll. Unvermeidlich müssen dann alle Flächen eines solchen Körpers gleich lange Seiten haben, aber nicht unbedingt lauter gleiche Winkel – abgesehen vom Dreieck, dem nichts anderes übrig bleibt.

Es ist sinnvoll, sich auf konvexe Körper zu beschränken, also solche ohne einspringende Kanten oder Ecken – nicht weil die Polyeder mit Dellen oder sogar durchgehenden Löchern im Prinzip uninteressant wären, sondern weil die Fülle der Möglichkeiten dann endgültig nicht mehr beherrsch­bar wäre …

Juni 2017

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Juni 2017

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