Auf welchem Weg rollt eine Kugel am schnellsten von A runter nach B?

Brachistochrone
© Spektrum.de
(Ausschnitt)
a) a)
b) b)
c) c)

Antwort:

Der schnellste Weg ist nicht der kürzeste, es ist c).

Erklärung:

Auf den ersten Blick erscheint es paradox, dass die Kugel in diesem Beispiel ausgerechnet den längsten Weg zwischen den beiden Punkten in kürzester Zeit bewältigt. Zunächst würde man wohl erwarten, dass sie den kürzesten Weg, die Gerade, am schnellsten herunterrollt.

Doch dem ist nicht so. Zwar ist der Weg c) länger, doch dafür ist die Geschwindigkeit der Kugel auf weiten Teilen der Strecke deutlich größer als in a) oder b). Der Grund: Es geht auf der Kurve c) steiler bergab, das heißt, mehr potentielle Energie wird in Bewegungsenergie umgesetzt. Selbstredend darf die Rollbahn nicht beliebig steil sein, sonst kommt die Kugel gar nicht mehr ans Ziel. Die Kunst ist also, eine Kurve zwischen zwei Punkten A und B unterschiedlicher Höhe zu finden, welche die Kugel am schnellsten hinabrollen kann.

Schon 1696 stellte Johann (I) Bernoulli (1667-1748) dieses so genannte Brachistochronenproblem, wobei eine Brachistochrone eben jene geschwindigkeitsoptimale verbindende Kurve darstellt. Brachistos chronos ist griechisch und bedeutet in "kürzester Zeit". Zusammen mit seinem Bruder Jakob (I) entwickelte Johann Bernoulli eine Lösung für das Problem und begründete damit die Variationsrechnung.
Zykloide
© Spektrum Akademischer Verlag
(Ausschnitt)
 Bild vergrößernZykloide
Demnach ist die schnellste Verbindung von A nach B stets eine so genannte Zykloide oder Radkurve. Diese Kurve entspricht dem Weg, den ein Punkt auf der Lauffläche eine Rades beim Abrollen zurücklegt. Wer also eine Murmelbahn bauen möchte, auf der Kugeln möglichst schnell hinabrollen, sollte auf diese Zykloiden zurückgreifen. Hier erfahren Sie mehr zur Brachistochrone: kugelbahn.bei.t-online.de/deutsch/schnell/einl.html