Mit welchen vier Gewichten kann man jede ganzzahlige Last zwischen 1 und 40 g auf einer Balkenwaage messen?

a) 1, 4, 16, 19
b) 2, 3, 9, 26
c) 1, 2, 7, 30
d) 1, 3, 9, 27

Antwort:

Mit den Gewichten 1, 3, 9 und 27 Gramm.

Erklärung:

Der Trick ist, dass man die einzelnen Gewichte nicht nur auf eine Seite legen kann, sondern entweder links oder rechts oder gar nicht! Das führt zu einer so genannten tertiären Kodierung: -3, 0, 3. Mit einem Wägestück können wir demnach drei unterschiedliche Massen wiegen. Da wir auf ein Gramm genau messen wollen, muss das kleinste Stück ein Gramm betragen. Das nächst größere kann dreimal so schwer sein, was zu einer Potenzreihe von 3 führt: 30=1, 31=3, 32=9, 33=27.

Folgende Übersicht hilft dem Verständnis. Dabei gibt die letzte Zeile (gelb markiert) die zu wiegende Masse an. Darüber sind die hierfür notwendigen Gewichte aufgeführt, wobei negative Werte bedeuten, dass die Gewichte zu der zu messenden Last hinzugelegt werden, positive Werte liegen auf der anderen Waagschale:
Bild
© Spektrum.de
(Ausschnitt)
 Bild vergrößernGrafische Lösung zum Waage-Problem
Nach obiger Potenzregel lässt sich das Wiegeproblem übrigens leicht verallgemeinern, auch wenn dabei nicht so schön runde Zahlen herauskommen. So kann man mit einem zusätzlichen Gewicht von 34=81 Gramm jede Einheit bis 1+3+9+27+81=121 Gramm wiegen. Für 1 Kilogramm (genauer: 1,093 Kilogramm) braucht man schon sieben Wägestücke.

Falls Sie die richtige Lösung gefunden haben, befinden Sie sich in guter Gesellschaft: Als erster bewältigte der französische Mathematiker Claude Gaspar Bachet de Meziriac (1581-1638) diese Aufgabe.