Stellen Sie sich einen einfachen Knoten in einem schmalen Papierstreifen vor! In welchem Winkel stehen die Enden des Streifens zueinander?

a) 90°
b) 108°
c) 120°
d) 135°
e) 142°

Antwort:

Die Enden des Papierstreifens stehen in einem Winkel von genau 108 Grad zueinander.

Erklärung:

Wie sieht man das? Am besten durch Probieren. Machen Sie dazu einen einfachen Knoten in einen Papierstreifen gleichmäßiger Breite. Mit einem schmalen Streifen – etwa einem Geschenkband – geht das besonders gut. Ziehen Sie den Knoten aber nicht so fest, dass sich der Streifen zusammenschnürt. Drücken Sie ihn stattdessen platt und gucken sich das Gebilde nun einmal genau an! Fällt Ihnen etwas auf?
Papierknoten
© T. Krome/wissenschaft-online
(Ausschnitt)
 Bild vergrößernPapierknoten
Sie werden sicherlich feststellen, dass der Knoten ein regelmäßiges Fünfeck (gelb in der Abbildung) bildet, wobei die Seitenlänge dieses Pentagons etwas größer als die Breite des Streifens ist. Die Enden des Papierstreifens verlaufen genau parallel zu zwei benachbarten Seiten des Fünfecks (rot). Da alle Innenwinkel im Fünfeck 108 Grad groß sind, müssen also auch die Papierstreifen im Winkel von 108 Grad zueinander abstehen.

Und noch mehr lässt sich an dem kleinen Fünfeck erkennen: So ist in dem Knoten das Verhältnis des Goldenen Schnitts verwirklicht. Eine Strecke c ist also genau so in zwei Teile aufgeteilt, dass sich der kleinere Teil a zu dem größeren Teil b verhält wie dieser zum Ganzen: a : b = b : (a+b) = b : c

Es ist im Übrigen kein Zufall, dass in dem Fünfeck ein Goldener Schnitt zu finden ist, denn die Diagonalen in einem Fünfeck schneiden sich stets in diesem Verhältnis, und genau entlang dieser Diagonalen ist der Papierstreifen gefaltet.

Eine sehr schöne Internet-Seite zum Goldenen Schnitt entstand am Kaiser-Heinrich-Gymnasium Bamberg. Hier erfahren Sie einiges zur Geschichte und viele Beispiele für das besondere geometrische Verhältnis.