Wenn der Barbier von Sevilla alle Männer von Sevilla rasiert, nur nicht die, die sich selbst rasieren, schabt er dann auch die eigenen Stoppeln ab?

a) Ja
b) Nein
c) So ein Barbier existiert nicht
d) Der Barbier ist eine Frau

Antwort:

Der Barbier existiert nicht.

Erklärung:

Das Barbier-Rätsel ist ein Paradoxon, es ist nicht lösbar: Wenn der Barbier sich selbst rasiert, gehört er eigentlich zur Menge derjenigen, die er nicht rasiert, und wenn er sich nicht rasiert, müsste er eigentlich zu seinen eigenen Kunden gehören. Die Existenz eines solchen Mannes ist also unmöglich.

Das Barbier-Paradoxon ist auch bekannt unter dem Namen seines Entdeckers, des Mathematikers und Philosophen Bertrand Russell. Er entwickelte es vermutlich um 1901, als er an seinen "Grundlagen der Mathematik" arbeitete. Die Antinomie beruht auf der naiven Mengenlehre, die eine Menge als die Zusammenfassung bestimmter Objekte zu einem Ganzen definiert.

Die meisten Menschen kennen einfache Mengenrechnungen aus der Schulzeit, in der man im Grundschulunterricht mit Hilfe bunter Plastikplättchen die Grundregeln der Mathematik lernen sollte. Im Prinzip lassen sich alle mathematischen Objekte auf den Mengenbegriff zurückführen, und entsprechend war sie für die Entwicklung vieler mathematischer Disziplinen von großer Bedeutung. Die Russell'sche Antinomie bewies jedoch, dass die Mengenlehre nicht geeignet ist, die Mathematik allein zu begründen: Denn mit ihr lassen sich Mengen bilden, die gar nicht existieren können.

Das Problem lässt sich auch mit Hilfe der Prädikatenlogik darstellen. So gilt für unser Beispiel vom Barbier von Sevilla:


Übersetzt heißt das: Für alle x gilt: x ist der Barbier von Sevilla genau dann, wenn für alle y gilt, dass sie, sofern sie sich nicht selbst rasieren, von x rasiert werden.

Man kann das Problem des rasierfreudigen Barbiers auch anders formulieren und so zum Kern des Russel'schen Problems vorstoßen:

Wenn die Menge M definiert ist als Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, kann dann M sich selbst enthalten?


Die naive Mengenlehre ist also an sich widersprüchlich.

Die Entdeckung dieser Widersprüchlichkeit blieb nicht ohne Auswirkungen: Im Jahr 1902 schrieb Russell an Gottlob Frege, der gerade ein mengentheoretisches Axiomensystem für die Logik entwickelt hatte. Der erkannte sofort die Problematik: Sein eigenes System war nicht widerspruchsfrei. Zu dumm, denn er hatte gerade die erste Ausgabe seiner "Grundgesetze der Arithmetik" in den Druck gegeben. Er ergänzte seine zweite Auflage mit dem Russel'schen Brief und stellte seine Arbeit an der axiomatischen Logik bald darauf ein.

Russell selbst versuchte die Antinomie aufzulösen, indem er eine Typentheorie entwickelte, die Mengen in verschiedene Typen einordnete: Mengen des ersten Typs enthalten nur Elemente, die des zweiten Typs Elemente und Mengen des ersten Typs und so weiter. Doch auch diese Mengentheorie konnte nicht alle Probleme beseitigen. Zwar vermied sie mengentheoretische Paradoxien, weil eine Darstellung von Mengen, die sich selbst nicht enthalten, unmöglich wurde. Semantische Paradoxien konnte die Typentheorie jedoch nicht lösen.

Das schaffte erst eine ungleich komplexere Mengenlehre, die Ernst Zermelo 1908 veröffentlichte und die 1922 von Abraham Fraenkel erweitert wurde: die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Sie dient heute im Allgemeinen als Grundlage der Mathematik. Bislang geht man davon aus, dass sie widerspruchsfrei ist. Bewiesen wurde sie noch nicht.

Eine Menge Denker haben sich mit dem Russell'schen Problem beschäftigt. Dabei hätte die Lösung – zumindest im Englischen – so einfach sein können: wäre der Barbier eine Frau, könnte sie problemlos Teil einer Menge sein, die sie nicht selbst enthält. Nun, anscheinend waren jedoch Frauen als Barbiere noch schwerer vorstellbar als eine widerspruchsfreie Mengenlehre.