Wer brachte das gesamte Gerüst der Mathematik ins Wanken, weil er bewies, dass es stets unauflösbare Paradoxien enthielt?

Gerhard Samulat Freier Journalist für Wissenschaft und Technik
a) David Hilbert
b) Bertrand Russell
c) Kurt Gödel
d) Alan Turing

Antwort:

Kurt Gödel zeigte im Jahr 1931, dass jedes hinreichend komplexe - oder "mächtige", wie die Mathematiker sagen,- formale System entweder unvollständig ist oder widersprüchlich. Seinen so genannten Unvollständigkeitssatz veröffentlichte der geniale Denker in der Zeitschrift Monatshefte für Mathematik und Physik unter dem Titel "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I". Die römische Eins deutet an, dass er einen weiteren Artikel zu diesem Thema schreiben wollte, um seine Gedanken genauer zu erläutern. Doch fand bereits seine erste Arbeit so großen Anklang, dass er auf weitere Erklärungen verzichten konnte.

Erklärung:

Zu jener Zeit glaubten so gut wie alle Menschen, die sich ernsthaft mit Mathematik beschäftigten, dass es möglich sei, das gesamte mathematische Gedankengebäude widerspruchsfrei auf eine endliche Zahl von Grundannahmen – so genannte Axiome – zurückzuführen. Einflussreichster Vertreter dieser Denkrichtung war der hoch angesehene David Hilbert. Auch Gödel, der am 28. April 1906 in Brünn, dem heutigen Brno in Tschechien, geboren wurde, war zunächst von diesem Gedanken überzeugt. Er stellte aber schnell Widersprüche fest, insbesondere als er sich intensiv mit der "Principia Mathematica" beschäftigte, einem Werk der beiden britischen Gelehrten Bertrand Russell und Alfred North Whitehead. Sie hatten – wie von Hilbert vorgeschlagen – versucht, die gesamte Mathematik aus einem begrenzten Satz von logischen Regeln abzuleiten.

Doch bereits Russell entdeckte einige Ungereimtheiten in der Mengenlehre. Dazu gehört beispielsweise die Antwort auf die Frage, wer den Barbier einer Stadt rasiert, der alle im Ort unters Messer nimmt, die sich nicht selbst rasierten, oder die Geschichte von dem antiken Kreter, der behauptet, dass alle seine Landsleute lügen. Kann man ihm dann Glauben schenken? Russell glaubte wie viele seiner Zeitgenossen, man könne diese Paradoxien mit einer umfassenderen Theorie beseitigen.

Gödel konnte hingegen zeigen, dass man sich dann weitere Widersprüche einhandelt. Ganz formal konnte er nachweisen, dass in jeglichem hinreichend komplexen System Aussagen existieren, die lauten: "Dieser Satz ist nicht ableitbar." Ist dieser Satz wahr, so ist er in dem betrachteten Formalismus also nicht ableitbar. Ist dieser Satz dagegen falsch, dann muss er ableitbar sein, was im Widerspruch zu dem Satz steht.

Zwar ließen sich Konstruktionen überlegen, um auch derartige Fälle in den Griff zu bekommen, in dem man beispielsweise wie von Russell vorgeschlagen zusätzliche Definitionen einfügte. Doch sprengt das den betrachteten formalen Rahmen. Und mit dem neuen Definitionsbereich, so sagt Gödel, würde man sich andere Paradoxien einhandeln. Generell konnte er nachweisen, dass ein System nicht dazu verwendet werden kann, um zu beweisen, dass es vollständig widerspruchsfrei sei.

Alan Turing übertrug die Ideen von Gödel auf die Rechnertechnik. Noch bevor der erste Computer gebaut wurde, konnte Turing zusammen mit seinem Kollegen Alonzo Church zeigen, dass nicht alle mathematischen Funktionen von einer so genannten Turingmaschine gelöst werden können, wobei die Turingmaschine ein mathematisches Modell eines modernen Elektronenhirns darstellt.

Trotz seines genialen Geistes war Gödel ein höchst bedauernswerter Mensch. Er litt unter Depressionen und Zwangsvorstellungen. Nur der Fürsorge seiner Frau verdankte er es, dass er im hohen Alter von über 70 Jahren überhaupt noch Nahrung zu sich nahm. Als seine Gattin Adele selbst einmal für einige Monate ins Hospital musste, verwahrloste Gödel. Seiner Haushaltshilfe misstraute er. Er kündigte ihr und ließ sich auch sonst nicht helfen. Ende Dezember 1977 musste Gödel daher selbst ins Krankenhaus, wo er wenige Wochen später verstarb. Diagnose: Unterernährung und Auszehrung.