Wie groß muss eine Schulklasse mindestens sein, damit zwei Schüler mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit am gleichen Tag Geburtstag haben? (1 Jahr=365 Tage; an jedem Tag haben gleich viele Menschen Geburtstag)

a) 183
b) 92
c) 46
d) 23
e) 12

Antwort:

Bei 23 Schülern haben zwei von ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von 50,7 Prozent am gleichen Tag Geburtstag.

Die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag im Jahr Geburtstag zu haben, beträgt
p=1/365=0,3 Prozent.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweiter Schüler an dem gleichen Tag nicht Geburtstag hat, liegt bei
q=(365-1)/365=99,7 Prozent.
Damit haben zwei Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von
p=1-q=0,3 Prozent
am gleichen Tag Geburtstag.

Bei einem dritten Schüler liegt die Wahrscheinlichkeit, dass sein Geburtstag weder mit dem des ersten, noch mit dem des zweiten Schülers zusammenfällt, bei
q=(365-2)/365=99,5 Prozent.

Erklärung:

Da die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Schüler nicht am gleichen Tag feiern,
q=(365-1)/365·(365-2)/365=99,2 Prozent.
Deshalb haben zwei von drei Schülern mit einer Wahrscheinlichkeit von
p=1-q=0,8 Prozent
am gleichen Tag Geburtstag. Bei vier Schülern sind es 1,6 Prozent und bei fünf 2,7 Prozent.
Allgemein beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass von n Schülern zwei am gleichen Tag Geburtstag haben
p=1-(365-1)·…·(365-n)/365n Prozent.
Bei n=22 Schülern sind dies 47,6 Prozent, während die Wahrscheinlichkeit bei n=23 bereits 50,7 Prozent beträgt.