Wie heißt die größte bekannte Zahl mit "praktischem" Nutzen?

Zahlensalat
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(Ausschnitt)
a) Googol
b) Googolplex
c) Grahams Zahl
d) Mosers Zahl
e) Skewes' Zahl

Antwort:

Grahams Zahl ist die größte bisher in einem ernsthaften mathematischen Beweis vorkommende Zahl.

Erklärung:

Mit Grahams Zahl (G) lässt sich die Lösung eines graphentheoretischen Problems abschätzen (Verallgemeinerung des Satzes von Ramsey). G ist jedoch so groß, dass sich die Zahl nicht mehr einfach durch Potenzen ausdrücken lässt. Sie auf einem riesigen Blatt Papier zu notieren, daran ist überhaupt nicht zu denken. Selbst wenn jegliche Materie im Universum als Tinte zur Verfügung stünde, würde diese nicht ausreichen, um Grahams Zahl komplett niederzuschreiben. Zur Darstellung der Zahl bedarf es der so genannten Pfeilschreibweise, die Donald Ervin Knuth im Jahre 1976 formulierte.

Für beliebige m, n aus der Menge der natürlichen Zahlen gilt hierbei:

m · n = m + m + … + m
mn = m · m · … · m
m ↑↑ n = m ↑2 n = mm ↑ … ↑ m
m ↑↑↑ n = m ↑3 n = m ↑↑ m ↑↑ … ↑↑ m
.
.
.
usw., wobei auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens je n Exemplare von m auftauchen.

Grahams Zahl G ist nun rekursiv definiert:

G1 = 3 ↑4 3 = 3 ↑↑↑↑ 3
Gn+1 = 3 ↑Gn 3 = 3 ↑…↑3  (mit n = 1,… , 63).

Damit gilt G = G64.

Auch für Mosers Zahl bedarf es einer speziellen Notation für besonders große Zahlen, die 1950 von Hugo Steinhaus vorgeschlagen und später von Leo Moser erweitert wurde.

Dabei wird nn für beliebige natürliche Zahlen n durch ein in ein Dreieck einbeschriebenes n abgekürzt ("n im Dreieck"). Ein n in einem Quadrat steht entsprechend für n ineinander geschachtelte Dreiecke, ein n in einem Fünfeck für n ineinander geschachtelte Quadrate und so weiter.

Ein Polygon mit "2 im Fünfeck" Seiten bildet ein so genanntes Meganon – ein Polygon, das so viele Seiten hat, dass es eigentlich schon rund ist.

Mosers Zahl lässt sich nun darstellen als "2 im Meganon".

Mit Skewes' Zahl kommen wir langsam wieder in Gefilde, die uns vertrauter sind. Zwar ist diese Zahl auch noch riesig, sie lässt sich aber vergleichsweise leicht in Potenzschreibweise darstellen:

S = ee^e^79 ≈ 1010^10^34.

Aus Gründen der Darstellbarkeit im Webbrowser vereinfachen wir die Wiedergabe von Potenzen: Das "Dach"-Zeichen ^ kennzeichnet das jeweils Nachfolgende als Exponenten (Bsp.: 10^2 = 102). Skewes' Zahl spielt bei der Verteilung von Primzahlen eine Rolle und dient als obere Schranke in einem Beweis.

Die Zahl Googol geht auf den damals neunjährigen Milton Sirotta zurück, der im Jahre 1938 von seinem Onkel Edward Kasner nach einem Namen für eine unvorstellbare Zahl gefragt wurde. Ein Googol ist die Zahl 10100. Kasner setzte dem noch einen drauf, und nannte 10Googol also 1010^100 Googolplex.

Die beliebte Suchmaschine Google soll übrigens ihren Namen von dem Wort ableiten – schließlich soll eine kaum vorstellbare Zahl von Internetseiten über den Suchdienst auffindbar werden. Verglichen mit Grahams Zahl nehmen sich Googol oder Googolplex jedoch eher winzig aus.

Wie heißt die größte bekannte Zahl mit "praktischem" Nutzen?