Wie viele einzelne Gewichte benötigt man mindestens, um auf einer Balkenwaage alle Massen zwischen einem und 40 Gramm grammgenau abwiegen zu können?

Maike Pollmann
a) vier
b) sechs
c) sieben
d) acht

Antwort:

Man braucht lediglich vier verschiedene Gewichtstücke dafür.

Erklärung:

Die ersten Aufzeichnungen von Rätseln, die sich mit Problemstellungen wie diesen auseinandersetzen, gehen auf den italienischen Mathematiker Niccolò Fontana zurück – besser bekannt unter dem Namen Tartaglia, "der Stotterer". Er soll bereits 1556 herausgefunden haben, dass es zum Lösen des obigen Problems eines sechszähligen Wägesatzes bedarf. Dieser muss aus 1, 2, 4, 8, 16 und 32 Gramm schweren Gewichten bestehen. Dabei handelt es sich um Potenzen der Zahl 2, weswegen man auch von einem "binären Wägesatz" spricht.

Tartaglia unterwarf seine Betrachtungen allerdings der grundlegenden Annahme, dass nur eine der Waagschalen mit den Gewichtstücken beladen werden darf, während die andere die zu wiegende Masse enthält.

Weiter ging im Jahr 1612 Bachet de Méziriac, ein französischer Poet und Mathematiker, mit der Veröffentlichung seiner Problèmes plaisans et délectables, in denen er sich mit dem Waagenproblem und anderen Denkspielen befasste. Indem er die Gewichtstücke nicht, wie noch Tartaglia, gedanklich nur auf eine Seite der Waage platzierte, konnte er die Anzahl der nötigen Gewichte weiter verringern. Auf diese Weise können im Wägesatz nicht vorhandene Gewichte als Differenz von Gewichtsstücken auf beiden Waagschalen angegeben werden. Fünf Gramm auf der linken Seite können also beispielsweise durch ein 7-Gramm-Stück auf der linken und ein 2-Gramm-Gewicht auf der rechten Seite zusammengesetzt werden.

Im Fall von Tartaglia hat man bei jedem Gewicht nur zwei Möglichkeiten – entweder es befindet sich auf der Waage oder eben nicht. Legt man die Stücke allerdings gegebenenfalls auch beidseitig auf, so stehen einem für jedes Gewicht drei Möglichkeiten zur Verfügung: links, rechts oder gar nicht auf der Waage – entsprechend wird es dazu addiert, abgezogen oder zählt gar nicht mit. Dadurch lassen sich für jedes Gewichtstück drei verschiedene Gewichte unterscheiden.

Die benötigten Gewichtstücke müssen also jeweils um den Faktor 3 schwerer werden. Da man Massen ab einem Gramm wiegen möchte, ist das 1-Gramm-Gewicht natürlich unverzichtbar. Daneben reichen drei weitere Gewichtstücke (3, 9 und 27 Gramm) aus, um alle Massen bis 40 Gramm abzuwiegen. Dies ist der so genannte "ternäre Wägesatz".

Um jetzt beispielsweise eine Probe von 32 Gramm auf der linken Seite abzuwiegen, bräuchte man auf der rechten Seite die 27 und 9 Gramm wiegenden Stücke sowie auf der linken die 1 und 3 Gramm schweren Gewichte – denn:
27 + 9 – 3 – 1 = 32