Zwölf 6-Ohm-Widerstände bilden die Kanten eines Würfels. Wie groß ist der Widerstand zwischen zwei diagonal gegenüberliegenden Ecken des Würfels?

a) 4 Ohm
b) 5 Ohm
c) 6 Ohm
d) 12 Ohm
e) 72 Ohm

Antwort:

Die richtige Lösung lautet 5 Ohm. Auf diesen Wert kommt man leicht, wenn man den Schaltplan des Würfels etwas anders darstellt (siehe Bild links).

Wenn über 1 und 7 die Spannung abgegriffen wird, dann liegen aus Symmetriegründen die Ecken 2, 4 und 5 sowie die Ecken 3, 6 und 8 auf gleichem Potenzial. So vereinfacht sich der Schaltkreis (siehe rechtes Bild).

Erklärung:

Für diesen Schaltplan ergibt sich nun nach üblichen Regeln für parallele und in Reihe geschaltete Widerstände folgender Ausdruck (Widerstände in Reihe addieren sich. Bei parallel geschalteten Widerständen addieren sich die Kehrwerte zum Kehrwert des Gesamtwiderstands.):

RGes = 1/3·R0 + 1/6·R0 + 1/3·R0 = 5/6·R0

wobei R0 = 6 Ohm der Widerstand auf der jeweiligen Würfelkante ist. Somit ergibt sich also ein Gesamtwiderstand von 5 Ohm.