Eine der Flächen ist ein (entarteter) Torus mit verschwindendem Kehlkreis. Das heißt, der "Innenäquator" ist auf einen Punkt zusammengeschrumpft. Stellen Sie sich einen waagerecht liegenden Kreis mit Radius \(r\) vor. Jeder Punkt der Kreislinie ist Mittelpunkt eines Kreises, ebenfalls mit Radius \(r\), der auf dieser Kreislinie senkrecht steht. Alle diese "stehenden" Kreise zusammen bilden den entarteten Torus.

Die andere Fläche ist ein ("stehender") Zylinder, ebenfalls mit dem Radius \(r\), der den Torus in seinem innersten Punkt und in einem seiner äußersten Punkte berührt und dessen Achse parallel zu der des Torus ist:

In den folgenden Animationen sind auch die Projektionen zu sehen:

Die Koordinaten sind mit dem Parameter \(-\pi/2 \lt t \lt \pi/2\):

• \(x = a \cos^2t\)
• \(y = a \cos t \sin t \)
• z = \(\pm a \sqrt{(1 – \cos t ) \cos t}\)

Der griechische Philosoph und Mathematiker Archytas von Tarent (um 410 bis um 350 v. Chr.) hat diese Kurve intensiv studiert, weil sie ein Hilfsmittel zur Lösung des antiken Problems der Würfelverdopplung liefert. ("Zu einem gegebenen Würfel finde die Kantenlänge eines Würfels mit dem doppelten Volumen", oder in heutiger Ausdrucksweise: Finde eine geometrische Konstruktion für die Zahl \(\root 3 \of 2\).)