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Chevalier de Méré

Treitz-Rätsel

Antoine Gombaud (1607–1684), genannt Chevalier de Méré, wettete, dass er mit 4 Würfen eines Würfels mindestens eine Sechs wirft, und er gewann in etwas mehr als der Hälfte der Fälle. Statt nun damit zufrieden zu sein, kam er eines Tages auf die Idee, mit 24 Doppelwürfen mindestens eine Doppelsechs zu würfeln. Zu seinem Erstaunen gewann er dabei aber nur in etwas weniger als der Hälfte der Fälle und verstand die Mathematik nicht mehr. Können Sie das erklären?

Machen Sie einfach eine Grafik über die möglichen Fälle.

Die rechnerisch einfachste Lösung geht von der Frage aus, wie oft man bei 4 Würfen keine Sechs (bzw. bei 24 Doppelwürfen keine Doppelsechs) bekommt, und wendet das Multiplikationsgesetz an ("Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei voneinander unabhängige Ereignise eintreten, ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten").

Weniger formal kann man sich auch vorstellen, dass man die vier Würfe nacheinander ausführt, aber nur, wenn man noch keine Sechs hat. In 1/6 der Fälle braucht man also nur den ersten Wurf, in 5/6 ist der zweite nötig. Nach dem vierten Wurf ist man dann mit der Wahrscheinlichkeit (5/6)4 ohne Erfolg, das sind etwa 48 %. Also gewinnt der Chevalier nach der ersten Methode in 52 % der Fälle, wenn er das Ganze "unendlich" oft versucht.

Entsprechend ist man bei Doppelwurf in 35 von 36 Fällen erfolglos, nach 24 solchen Doppelwürfen also mit der Wahrscheinlichkeit (35/36)24 ≈ 51 %. Die Chance zu gewinnen ist also nur noch 49 % und nicht mehr 52 %.

Es gibt eigentlich keinen Anlass zu glauben, dass die Verschärfung der Forderung nach der Doppelsechs statt der einfachen Sechs durch eine Versechsfachung der Zahl der (Doppel-)Würfe genau ausgeglichen werden sollte, wie es der Chevalier vermutet hatte.

Der wiederum wandte sich 1654 an Blaise Pascal; der rechnete die Sache – auch im Briefwechsel mit Pierre de Fermat – richtig durch, was heute als die Geburtsstunde der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie gilt.

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