Sehen Sie sich erst einmal an, wie viele Diagonalen von jeder Sorte von einer Ecke ausgehen:

Flächendiagonalen im Dodekaeder

Je 8 der 20 Ecken des Dodekaeders sind Ecken eines Würfels. Jede Ecke ist an 2 Würfeln beteiligt; denn zu ihr laufen je 2 Diagonalen aus 3 Fünfecken, aber je 3 davon gehören zum gleichen Würfel. Da die Würfel je 8 Ecken haben, sind es 40/8 = 5 einzelne Würfel. Im Bild ist einer von ihnen besonders hervorgehoben.

In diesem Kartonmodell hat jeder der fünf Würfel eine eigene Farbe:

Kurze Raumdiagonalen im Dodekaeder

Wenn man in einem der beschriebenen Würfel jede zweite Ecke weglässt, bekommt man ein Tetraeder. Da es 5 derartige Würfel gibt, ergeben sich 10 Tetraeder. Von ihnen treffen sich in jeder Ecke zwei Stück; jedes stammt von einem der beiden Würfel ab, die sich in derselben Ecke treffen.

Ohne den Zwischenschritt mit den Würfeln wäre das wesentlich schwieriger einzusehen.

Alle 10 Tetraeder zusammen sind nicht besonders ansehnlich; aber wenn man 5 von ihnen so auswählt, dass jede Ecke des Dodekaeders nur einfach besetzt ist, sieht der entstehende Tetraederfünfling ganz hübsch aus:

Lange Raumdiagonalen im Dodekaeder

Dieser von Kepler (in den "Harmonices Mundi") beschriebene Stern hört auf den Namen "Großes Stern-Dodekaeder".

Es sei noch bemerkt, dass alles, was für die Ecken des Dodekaeders gilt, auch für die Flächenmittelpunkte des Ikosaeders gilt, denn wegen der Dualität bilden diese ja ein solches.

Mit den 10 Durchmessern (den ganz langen Diagonalen durch den Mittelpunkt) und den 30 Kanten hat das Dodekaeder 190 Strecken zwischen je zwei der 20 Ecken (wegen 20·19/2). Davon sind 150 Diagonalen im engeren Sinne, nämlich 60 Flächendiagonalen, 60 kurze und 30 lange Raumdiagonalen.