Treitz-Rätsel / Mathematik / 051: Diagonalen im Zehneck

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Treitz-Rätsel
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(Ausschnitt)

In einem Vieleck nennen wir die Diagonalen, die von einer Ecke zur übernächsten verlaufen, Diagonalen zweiter Klasse. Entsprechend verlaufen die Diagonalen dritter Klasse von einer Ecke zur drittnächsten, und so weiter.

Im regelmäßigen Zehneck verhalten sich die Diagonalen dritter Klasse zu denen vierter Klasse wie der Umkreisradius zur Seitenlänge des regelmäßigen Fünfecks, das dem Zehneck einbeschriebenen ist (und dessen Seiten sämtlich Diagonalen zweiter Klasse sind). Wie beweist man das?

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Lösung

Die beiden Dreiecke mit den rot gezeichneten Seiten sind wegen paralleler Lage aller Seiten ähnlich zueinander.

Aufgabe XI, 50 bei Spieker