Am besten ist es, wenn man einen Jovo-Baukasten aus Quadraten und gleichseitigen Dreiecken besitzt. Außer den Rauten, die man leer lassen kann, sind nämlich alle Flächen von diesen beiden Sorten. Es lohnt sich aber auch, ein Modell aus Karton oder noch besser aus Klarsicht-Farbfolie ("Fensterfolie") zu bauen, am besten gleich nur mit den Seitenwänden der Prismen und den Quadraten und Dreiecken.

So sieht das Innere aus:

Das Innere besteht aus den Seitenwänden von 12 rhombischenPrismen, deren leere Grundseiten ein ebenfalls leer bleibendes Rhombendodekaeder umgeben und dabei 48 äußere Ecken zusätzlich zu den 14 inneren mit sich bringen.

Wie sehen nun die Außenwände aus?

Über den 8 dreizähligen Ecken des Rhombendodekaeders passen gleichseitige Dreiecke (mit der für alles gemeinsamen Kantenlänge!) zwischen die Hälfte der 48 äußeren Ecken.

In gleicher Weise gehören zu den 6 vierzähligen Ecken 6 Quadrate zwischen den anderen 24 Ecken. Über den Flächen des Rhombendodekaeders liegt außen je eine deckungsgleiche rhombische Fläche, die aber als Fenster leer bleibt.

Über den 24 Kanten des Rhombendodekaeders bekommen wir je ein Quadrat, das an ein Dreieck und ein Quadrat sowie an zwei rhombische Fenster grenzt.

Die Euler-Charakteristik ( = Eckenzahl – Kantenzahl + Flächenzahl) ist 62 – 168 + 86 = –20. Das gehört zum topologischen Geschlecht (Genus) 11, wie es sich für einen Gegenstand mit 12 Löchern gehört.

Man kann das Polyeder auch als eine Addition von 6 Würfeln, 24 dreizähligen Prismen und 8 Tetraedern auffassen, die sich um ein leer bleibendes Rhombendodekaeder gruppieren und zwischen sich 12 rhombische Prismen frei lassen.

Es gibt mehrere Schichten, die nur von parallel zueinander liegenden Kanten durchquert werden. Was geschieht, wenn man diese Kanten auf 0 schrumpfen lässt?

Es verschwinden mit diesen Kanten 6 Fenster, 6 Würfel und 6 dreizählige Prismen, und aus dem Rhombendodekaeder wird ein Rhombenhexaeder, aber mit den gleichen Winkeln und Diagonalenverhältnissen, nämlich \(\sqrt{2}\). Von den Symmetrieachsen bleibt nur noch eine übrig.

Kann man diesen Prozess fortsetzen?

Das ist noch einmal das Exemplar mit 6 Fenstern. Die weiteren Schritte sehen so aus:

(mit dem Schönheitsfehler, dass innen Quadrate paarweise zu langen Rechtecken verschmelzen)

und zum Schluss landen wir – o Wunder – beim Kuboktaeder, dem zum Rhombendodekaeder dualen Polyeder:

und damit wieder bei der vollen Symmetrie von Würfel und Oktaeder.

Nun können wir noch fragen, ob die Hülle unseres Käfigs noch eine andere Beziehung zum Kuboktaeder hat.

Die gleiche Hülle bekommt man, wenn man von einem Kuboktaeder der gleichen Kantenlänge ausgeht und auf die Dreiecke Prismen mit der gleichen Kantenlänge setzt. Um die Hülle dann mit Quadraten, Dreiecken und Rauten zu vervollständigen, kann man sich auch Prismen mit quadratischen Grundflächen auf die Quadrate des Kuboktaeders gesetzt denken, diese allerdings mit etwas größerer Höhe. Wenn man die 8 dreizähligen Prismen als Tunnel zwischen dem zentralen Kuboktaeder und der Außenwelt anlegt, besteht das Ganze aus 6 mit Quadratflächen aneinander hängenden (massiv zu denkenden) Doppelkuppeln, die aber anstelle der gleichseitigen Dreiecke gleichschenklige haben, die nach Form und Lage die Hälften unserer Rauten mit dem Diagonalenverhältnis \(\sqrt{2}\) sind.

Auch kann man sich den Schrumpfungsprozess auf einen Schlag vorstellen: Einfach alle roten Kanten wegnehmen; die Tetraeder und vierzähligen Pyramiden rücken dann zum Kuboktaeder zusammen.