Treitz-Rätsel / Mathematik / 661: Einige Drehungen

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© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Das Stereobild (das mittlere Teilbild ist für das linke Auge) zeigt das kleine Rhombenikosidodekaeder (einen Stumpf wahlweise von Ikosaeder, Dodekaeder oder Rhombentriakontaeder, aber nur ungenauerweise vom Ikosidodekaeder) aus 20 Dreiecken, 12 Fünfecken und 30 Vierecken (allesamt regelmäßig). Es hat 60 Ecken und 120 Kanten.

Welches Johnson-Polyeder (konvexes Polyeder aus regelmäßigen Polygonen, die weder platonisch noch – wie der vorliegende Körper – archimedisch sind) kann man durch Verdrehen oder Abschneiden von Teilen aus dem kleinen Rhombenikosidodekaeder formen?

Als Kuppel(-Polyeder) der Zähligkeit \(n\), \(n=3, 4\) oder 5, bezeichnet man ein Polyeder, dessen "Bodenfläche" aus einem regelmäßigen 2\(n\)-Eck besteht. An diesen Boden grenzen abwechselnd quadratische und (gleichseitig) dreieckige "Wände" (jeweils \(n\) Stück), die sämtlich nach innen geneigt sind. Die "Decke" ist dann nur noch ein regelmäßiges \(n\)-Eck, das an die Oberseiten der quadratischen Wände anschließt. Die fünfzählige Kuppel besteht also aus einem Zehneck, einem Fünfeck, und fünf Vierecken und Dreiecken – allesamt regelmäßig.

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Tipp

Betrachten Sie bitte Gruppen von Kanten, die in einer gemeinsamen Ebene liegen.

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Lösung

Hier ist noch einmal das archimedische Polyeder, nämlich das kleine Rhombikosidodekaeder, bei dem an jeder Ecke die Polygone im Sinne von 3-4-5-4 (ein Dreieck, ein Viereck, ein Fünfeck und noch ein Viereck, in dieser Reihenfolge) zusammentreffen.

© Norbert Treitz
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Jeweils 10 der 120 Kanten liegen in einer Ebene und bilden die Grundseite einer fünfzähligen Kuppel. Diese kann man nun wahlweise abschneiden oder um ein Zehntel des Vollwinkels verdrehen. In den folgenden beiden Stereobildtripeln sind gleich 3 solche Bereiche verdreht und an den bunten Farben zu erkennen: Johnson Polyeder Nr. 75 ("trigyrate rhombicosidodecahedron"):

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)
© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Mehr als 3 fünfzählige Kuppeln kann man innerhalb des kleinen Rhombenikosidodekaeders nicht drehen oder abschneiden, ohne dass sie sich gegenseitig stören. Sind aber zwei Kuppeln betroffen, können diese sich gegenüberstehen ("para") oder halbwegs benachbart ("meta") sein.

Insgesamt gibt es 12 Johnson-Polyeder, die man aus dem kleinen Rhombenikosidodekaeder durch Abschneiden und/oder Drehen von Kuppeln bilden kann:

  • J72. Gyrate rhombicosidodecahedron
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  • J73. Parabigyrate rhombicosidodecahedron

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  • J74. Metabigyrate rhombicosidodecahedron

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  • J75. Trigyrate rhombicosidodecahedron (unsere Bilder)

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  • J76. Diminished rhombicosidodecahedron
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  • J77. Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron
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  • J78. Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron
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  • J79. Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron
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  • J80. Parabidiminished rhombicosidodecahedron
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  • J81. Metabidiminished rhombicosidodecahedron
    © Norbert Treitz
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  • J82. Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron
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  • J83. Tridiminished rhombicosidodecahedron
    © Norbert Treitz
    (Ausschnitt)
Quelle (auch für die Umrisslinien der Netze): Stichwort "Johnson Solid" bei mathworld.wolfram.com