Treitz-Rätsel / Mathematik / 313: Enneaeder

Treitz-Rätsel
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(Ausschnitt)

Bauen Sie bitte (in Gedanken, Zeichnungen oder mit Karton) aus 3 Quadraten und 6 deckungsgleichen Drachenvierecken mit geeigneten Maßen ein Polyeder. Welche Symmetrieeigenschaften hat es, wie viele Ecken und Kanten? Kann man auf seinen Kanten einen (Hamilton-)Rundweg machen, der jede Ecke genau einmal aufsucht und keine Kante mehrmals benutzt?

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Tipp

Gehen Sie (auf die eine oder andere Art) von einem Polyeder mit 9 Kanten aus und setzen Sie Pyramiden auf dessen Flächen, deren Flächen bei passender Wahl der Neigungswinkel paarweise zu unseren Vierecken verschmelzen.

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Lösung

Dieses Enneaeder ("Neunflächner") hat 11 Ecken, davon 8 mit 3 Kanten und 3 mit 4 Kanten, also 18 Kanten. 6 der Flächen sind Drachenvierecke, die anderen 3 sind Rauten oder auch speziell Quadrate.

Man kommt zu diesem Polyeder zum Beispiel, indem man drei Quadrate so aufstellt, dass jedes von ihnen mit zwei gegenüberliegenden Ecken an seinem Nachbarn hängt, so dass drei Diagonalen, aus jedem Quadrat eine, zusammen ein Dreieck bilden. Dann schneidet man die Drachen passend zu.

Etwas systematischer geht es, wenn man von einem Polyeder mit 9 Kanten ausgeht und Pyramiden derart auf seine Flächen setzt, dass je zwei zu einem Viereck verschmelzen. Dazu eignet sich das 3-zählige Prisma ebenso gut wie die zu ihm duale 3-zähligen Doppelpyramide. Diese beiden Figuren findet man auch beide im Enneaeder wieder, wenn man die Diagonalen zeichnet.

In der hier gezeigten Form hat das Enneaeder die gleichen Symmetrien wie das dreiseitige Prisma und wie die Doppelpyramide "über" dem gleichseitigen Dreieck, nämlich

  • eine 3-zählige Rotationsachse rechtwinklig auf einer Spiegelebene und
  • drei 2-zählige Rotationsachse und rechtwinklig zu jeder von ihnen eine weitere Spiegelebene

Das Enneaeder ist das einfachste Polygon, auf dessen Kanten man keinen wiederholungsfreien Rundweg über alle Ecken machen kann (also keinen geschlossenen Hamilton-Weg). Immerhin kann man aber einen solchen Weg aufzeigen, bei dem Anfang und Ende verschieden sind. Dazu nehmen Sie am einfachsten den 2-dimensionalen Graphen des Polyeders (Schlegel-Diagramm):

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Der Hamilton-Weg sieht dann so aus::

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)
Coxeter, Polytopes, p. 8