Fermat und Torricelli
Wenn man an die Seiten eines (hier gelben) Dreiecks je ein gleichseitiges Dreieck nach außen anbaut, so sind die (blauen) Strecken zwischen deren Außen-Ecken und den gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks gleich lang und schneiden sich alle drei in einem Punkt unter je 60o, so dass von diesem Schnittpunkt aus die Sehwinkel zu den Dreiecksseiten je 120o oder auch 60o groß sind.
Zeigen Sie bitte möglichst einfach, warum das so sein muss.
Bauen Sie einige dieser Dreiecke mehrfach in das Bild, so dass sich um eine Ecke der volle Winkel schließt.
Hier sind einige Dreiecke mehrfach in das Bild gezeichnet, so dass sich an einer Ecke der volle Winkel schließt (denn es treffen sich dort dreimal das allgemeine Dreieck, mit jedem seiner Winkel einmal, und außerdem 3 gleichseitige Dreiecke). Unsere blauen Linien treten mehrmals auf, unter anderem als Seiten eines gleichseitigen Dreiecks und im Übrigen parallel zu dessen Seiten.
Ihr in der Behauptung angesprochener Schnittpunkt, der nach Fermat und mit noch größerer Berechtigung nach Torricelli benannt wird, liegt nur dann im Inneren des Dreiecks, wenn in diesem alle Winkel kleiner als 120o sind, und nur dann ist der Sehwinkel von ihm zu allen drei Seiten genau 120o, und die Entfernungen von ihm zu den drei Ecken haben eine minimale Summe (das war Fermats Fragestellung!). Falls ein Winkel nicht kleiner als 120o ist, hat die zugehörige Ecke die kleinste Entfernungssumme, und falls dieser Winkel größer als 120o ist, sind zwei der Sehwinkel nur 60o, und der Schnittpunkt liegt außen.
Ausführliches über besondere Punkte im Dreieck (insbesondere den Fermat-Torricelli-Punkt) finden Sie hier.
In einer anderen Aufgabe finden Sie eine andere Konstruktion des Fermat-Torricelli-Punktes.
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