Wie kann man die 60 Ecken auf die Kanten des Ikosaeders verteilen?

Das gesuchte halbreguläre Polyeder ist der Ikosaederstumpf mit der Charakteristik 566 (das heißt: An jeder Ecke treffen sich ein Fünfeck, ein Sechseck und ein Sechseck, in dieser Reihenfolge). Es entsteht dadurch, dass sozusagen jede der 12 Ecken des Ikosaeders (Charakteristik 33333) zu einem Fünfeck abgeschliffen ist, so dass von seinen Kanten jeweils das mittlere Drittel übrig bleibt. Es hat also 32 Flächen, nämlich 20 Sechsecke und 12 Fünfecke (dort, wo das Dodekaeder bzw. das Ikosaeder ihre Ecken bzw. umgekehrt ihre Flächen haben). Als konvexes Polyeder hat es die Euler-Charakteristik 2 und daher 32 + 50 – 2 = 80 Kanten.

Das Fulleren sieht dann ungefähr so aus (die Kanten der Fünfecke sind als Einfachbindungen etwas länger (145 pm) als die anderen (140 pm), die Doppelbindungen sind):

Wegen der architektonischen Vorbilder von Buckminster Fuller haben die Chemiker das C₆₀ Fulleren genannt und nennen die Moleküle auch gelegentlich "Buckyballs". Wenn man die Größe der ganzen Atome berücksichtigt, sind die folgenden Bilder etwas realistischer:

Verbindet man die Ecken des Ikosaederstumpfes mit Großkreisbögen (seiner Umkugel), bekommt man die Nähte eines Fußballs:

Die folgende Animation zeigt den Vorgang des Abstumpfens vom Ikosaeder 33333 über den Ikosaederstumpf 566 bis zum Ikosidodekaeder 3535 und zurück:

Das Ikosidodekaeder 3535 wird erreicht, wenn von den Ikosaeder-Kanten nur noch je ein Punkt übrig bleibt, es ist der gemeinsame Stumpf von Ikosaeder und Dodekaeder (und zwar sozusagen von beiden gleich weit entfernt). Es verhält sich zu diesen beiden wie das Kuboktaeder 3434 zu Oktaeder 3333 und Hexaeder (Würfel) 444.

Das Ikosidodekaeder hat 32 Flächen (nämlich 12 Fünfecke und 20 Dreiecke), 30 Ecken und 60 Kanten, die sich zu 6 regelmäßigen Zehnecken zusammenfinden.